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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Minimalpolynom
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Minimalpolynom: Problem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 So 12.09.2010
Autor: schneckennudel91

Aufgabe
Sei A [mm] \in M_{nxn}(K) [/mm] eine nxn-Matrix und r der Grad des Minimalpolynoms von A. Zeigen Sie, dass dann [mm] {E,A,A^{2},...,A^{r}} [/mm] eine linear abhängige Teilmenge von [mm] M_{nxn}(K) [/mm] ist.

Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe das Gefühl überhaupt nicht zu verstehen wo der Knackpunkt bei dieser Aufgabe liegt. Vielleicht kann mir ja jemand einen Gedankenanstoß geben, wäre darüber sehr dankbar!

liebe Grüße!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 So 12.09.2010
Autor: fred97


> Sei A [mm]\in M_{nxn}(K)[/mm] eine nxn-Matrix und r der Grad des
> Minimalpolynoms von A. Zeigen Sie, dass dann
> [mm]{E,A,A^{2},...,A^{r}}[/mm] eine linear abhängige Teilmenge von
> [mm]M_{nxn}(K)[/mm] ist.
>  Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe
> das Gefühl überhaupt nicht zu verstehen wo der Knackpunkt
> bei dieser Aufgabe liegt. Vielleicht kann mir ja jemand
> einen Gedankenanstoß geben, wäre darüber sehr dankbar!


Sei p das Minimalpolynoms von A. Nun gibt es einen Satz der besagt:

                p(A)= ????


FRED

>  
> liebe Grüße!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 So 12.09.2010
Autor: schneckennudel91

Vielen Dank für die schnelle Reaktion :)

p(A) ist natürlich 0.
Das heißt einer der Faktoren in [mm] p(A)=(A-\lambda_{1})^{n_{1}}*(A-\lambda_{2})^{n_{2}}*...*(A-\lambda_{k})^{n_{k}} [/mm] ist 0, oder?



Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynom: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 So 12.09.2010
Autor: fred97


> Vielen Dank für die schnelle Reaktion :)
>  
> p(A) ist natürlich 0.
> Das heißt einer der Faktoren in
> [mm]p(A)=(A-\lambda_{1})^{n_{1}}*(A-\lambda_{2})^{n_{2}}*...*(A-\lambda_{k})^{n_{k}}[/mm]
> ist 0, oder?

Unfug ! Es ist p(x) = [mm] a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_rx^r, [/mm] somit

              0=p(A)= [mm] a_0E+a_1A+...+a_rA^r [/mm]

Hilft das ?

FRED

>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Minimalpolynom: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 So 12.09.2010
Autor: schneckennudel91

Da ich lineare Abhängigkeit zeigen soll, wird die Gleichung erfüllt, ohne dass alle [mm] a_{i}'s [/mm]  0 sein müssen. Die sind ja auch nicht alle Null sonst wäre ja p(x) = 0 für alle x.

Bezug
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