Minimalpolynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 05.12.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Meine Fragen:
Wie bestimme ich allgemein das Minimalpolynom der Verknüpfung zweier algebraischer Zahlen? Zum Beispiel von [mm] \wurzel[]{3} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] in Q.
Zunächst bestimmt man den Grad der Minimalpolynome von [mm] \wurzel[]{3} [/mm] und [mm] \wurzel[3]{2}. [/mm] Also 2 und 3. Dann potenziert man [mm] \wurzel[]{3} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] bis 6, da 2 * 3 = 6 und erhält ein GLS welches man löst. Meine Frage wie komme ich auf dieses GLS. Verstehe nicht ganz woher die Koeffizienten kommen? Die Lösung kann man dann wahrscheinlich mit Gauß machen. Dann erhält man also nach Lösung des GLS das Minimalpolynom. Gibt es nicht auch eine einfachere Methode um selbiges zu bestimmen. Stelle mir das nämlich schwierig vor in der Klausur ein so riesiges GLS zu lösen. Insbesondere bei der wenigen Zeit die man hat. Noch eine letzte Frage warum erweitert man Q zu [mm] Q(\wurzel[]{2}). [/mm] Wird das deshalb gemacht damit alle Elemente dann auch reduzibel sind da ja [mm] x^2 [/mm] -2 [mm] \in [/mm] Q[x] z.B irreduzibel wäre?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wie bestimme ich allgemein das Minimalpolynom der
> Verknüpfung zweier algebraischer Zahlen? Zum Beispiel von
> [mm]\wurzel[]{3}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] in Q.
> Zunächst bestimmt man den Grad der Minimalpolynome von
> [mm]\wurzel[]{3}[/mm] und [mm]\wurzel[3]{2}.[/mm] Also 2 und 3.
Hierdran sieht man, dass [mm] $[\IQ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 6$ ist, da die Zwischenerweiterungen teierfremde Grade haben.
Andernfalls musst du das MiPo von [mm] $\sqrt[3]{2}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] bestimmen, um den genauen Koerpergrad zu erfahren.
Den brauchst du, um eine [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3})$ [/mm] hinzuschreiben.
Hier ist das $1, [mm] \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, \sqrt{3} \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2, \sqrt{3} \sqrt[3]{2}^2$.
[/mm]
> Dann
> potenziert man [mm]\wurzel[]{3}[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] bis 6, da 2 * 3
> = 6 und erhält ein GLS welches man löst.
Und jede Potenz stellst du als Linearkombination der obigen [mm] $\IQ$-Basis [/mm] von [mm] $\IQ(\sqrt{3}, \sqrt[3]{2})$ [/mm] dar.
> Meine Frage wie
> komme ich auf dieses GLS.
Zu jeder Potenz hast du einen Koeffizientenvektor. Du suchst jetzt eine [mm] $\IQ$-lineare [/mm] Relation zwischen diesen Koeffizientenvektoren. Sprich, du schreibst die Vektoren in eine Matrix, etwa als Spalten, und suchst dann einen Vektor aus dem Kern.
(Aufgrund der Wahl des LGS gibt es genau einen Basisvektor des Kerns; dieser entspricht dem Koeffizientenvektor des Minimalpolynoms, bis auf konstante Vielfache.)
> Verstehe nicht ganz woher die
> Koeffizienten kommen? Die Lösung kann man dann
> wahrscheinlich mit Gauß machen. Dann erhält man also nach
> Lösung des GLS das Minimalpolynom. Gibt es nicht auch eine
> einfachere Methode um selbiges zu bestimmen. Stelle mir das
> nämlich schwierig vor in der Klausur ein so riesiges GLS
> zu lösen.
So schwer ist das nicht.
In der Klausur bekommst du vermutlich auch etwas einfacheres...
Oft ist es auch so, dass du das LGS direkt loesen kannst; um etwa das MiPo von [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt[3]{2}$ [/mm] zu bestimmen, schaust du dir ja auch die Potenzen [mm] $\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \alpha^3$ [/mm] an. Du siehst schnell, dass $-2 [mm] \cdot \alpha^0 [/mm] + [mm] \alpha^3 [/mm] = 0$ ist. Also ist das MiPo gerade $-2 [mm] \cdot X^0 [/mm] + [mm] X^3 [/mm] = [mm] X^3 [/mm] - 2$.
> Insbesondere bei der wenigen Zeit die man hat.
> Noch eine letzte Frage warum erweitert man Q zu
> [mm]Q(\wurzel[]{2}).[/mm] Wird das deshalb gemacht damit alle
> Elemente dann auch reduzibel sind da ja [mm]x^2[/mm] -2 [mm]\in[/mm] Q[x] z.B
> irreduzibel wäre?
Die Frage kann man so nicht beantworten, da sie voellig aus dem Kontext gerissen ist.
LG Felix
|
|
|
|
