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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Minimalpolynom bestimmen
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Minimalpolynom bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:12 Do 05.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
a) [mm] A=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \in \IQ [/mm]

Bestimmen Sie [mm] m_{A}(t) [/mm] und die rationale kanonische Form von A

b) [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \in \IC [/mm]

Bestimmen Sie [mm] m_{A}(t) [/mm] und die rationale kanonische Form von A

a) wenn ich hier das charakteristische Polynom bilde (Grad von [mm] P_{A}(t)=2) [/mm] => aufgrund Satz von Cayley Hamilton, dass das Minimalpolynom ebenfalls den Grad 2 haben muss. Aufgrund der Normiertheit folgt [mm] P_{A}(t)=m_{A}(t). [/mm] Somit ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom.

Nach dieser Logik kommt bei a genau das gleiche Minimalpolynom wie bei b raus. Was aber für mich keinen Sinn macht . Kann mir einer von euch helfen?

b) Lösung: [mm] m_{A}(t)=(t-i)(t+i) [/mm]

Vielen Dank für eure Hilfe!

LG der Pinguinagent


        
Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:14 Do 05.05.2016
Autor: DerPinguinagent


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Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:31 Fr 06.05.2016
Autor: hippias


> a) [mm]A=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \in \IQ[/mm]
>  
> Bestimmen Sie [mm]m_{A}(t)[/mm] und die rationale kanonische Form
> von A
>  
> b) [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \in \IC[/mm]
>  
> Bestimmen Sie [mm]m_{A}(t)[/mm] und die rationale kanonische Form
> von A
>  a) wenn ich hier das charakteristische Polynom bilde (Grad
> von [mm]P_{A}(t)=2)[/mm] => aufgrund Satz von Cayley Hamilton, dass
> das Minimalpolynom ebenfalls den Grad 2 haben muss.
> Aufgrund der Normiertheit folgt [mm]P_{A}(t)=m_{A}(t).[/mm] Somit
> ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen
> Polynom.

Ich finde Deine Argumentation verbesserungswürdig. Insbesondere der Schluss auf [mm] $grad(m_{A})=2$ [/mm] aus dem Satz von Cayley-Hamilton ist mir zu unklar.

>  
> Nach dieser Logik kommt bei a genau das gleiche
> Minimalpolynom wie bei b raus. Was aber für mich keinen
> Sinn macht . Kann mir einer von euch helfen?

Weshalb meinst Du denn, dass das selbe Minimalpolynom keinen Sinn ergibt?

>  
> b) Lösung: [mm]m_{A}(t)=(t-i)(t+i)[/mm]
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>  
> LG der Pinguinagent
>  


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Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Sa 07.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Ich verstehe nicht so ganz wie man die "rational kanonische Form" bestimmt. In der Vorlesung haben wir keine spezifische Vorgehensweise besprochen.
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!

Vielen Dank im Voraus

Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 So 08.05.2016
Autor: hippias

Ich jedenfalls kenne die Definition der rationalen kanonischen Form nicht.

Bezug
                
Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:39 So 08.05.2016
Autor: fred97


> Ich verstehe nicht so ganz wie man die "rational kanonische
> Form" bestimmt. In der Vorlesung haben wir keine
> spezifische Vorgehensweise besprochen.

die gesuchte Form nennt man auch Frobenius Normalform

hilft das ?

fred


> Über Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!
>  
> Vielen Dank im Voraus


Bezug
                        
Bezug
Minimalpolynom bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:42 Di 10.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Hallo Fred, leider hat der Tip nicht geholfen in der Vorlesung haben wir zwar eine Anleitung bekommen, aber diese ist etwas unverständlich Aufgeschrieben, wir wissen nicht genau, wie wir mit dem Minimalpolynom weiter verfahren sollen, hättest du vielleicht noch einen Tipp?

Bezug
                                
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Minimalpolynom bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 12.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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