Minimalpolynom bestimmen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Sa 26.04.2008 | | Autor: | Annanna |
| Aufgabe | | Berechene das Minimalpolynom über [mm] \IR [/mm] von $A= [mm] \pmat{0&1& 2&4\\-1&0&3&1\\0&0&0&1\\0&0&-1&0}\in [/mm] M(4x4, [mm] \IR)$ [/mm] |
Ich habe jetzt das char. Polynom bestimmt um die Eigenwerte zu berechnen (P(x) = [mm] x^4+2x^2+1
[/mm]
P(x) hat also keine reellen Eigenwerte...jetzt weiß ich nicht mehr weiter.ich soll doch das MinimlPolynom ausdrücklich über R bestimmen?!
und kann mir jemand generell erklären wie man mit Hilfe der Eigenwerte und dessen alg. Vielfachheit das Minimalpoynom betimmt?
Ich habe nur ein Beispiel aus der Vorlesung, dieses aber nicht 100 prozentig verstanden...Vielen Dank
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Annanna,
> Berechene das Minimalpolynom über [mm]\IR[/mm] von [mm]A= \pmat{0&1& 2&4\\-1&0&3&1\\0&0&0&1\\0&0&-1&0}\in M(4x4, \IR)[/mm]
>
> Ich habe jetzt das char. Polynom bestimmt um die Eigenwerte
> zu berechnen (P(x) = [mm]x^4+2x^2+1[/mm]
> P(x) hat also keine reellen Eigenwerte...jetzt weiß ich
> nicht mehr weiter.ich soll doch das MinimlPolynom
> ausdrücklich über R bestimmen?!
>
> und kann mir jemand generell erklären wie man mit Hilfe der
> Eigenwerte und dessen alg. Vielfachheit das Minimalpoynom
> betimmt?
> Ich habe nur ein Beispiel aus der Vorlesung, dieses aber
> nicht 100 prozentig verstanden...Vielen Dank
Das Minimalpolynom ist das jenige Polynom für das [mm]P\left(A\right)=0[/mm] (0 ist die Nullmatrix.
[mm]P\left(x\right)[/mm] läßt sich ja so schreiben:
[mm]P\left(x\right)=x^{4}+2*x^{2}+1=\left(x^{2}+1\right)^{2}[/mm]
Um das Mimimalpolynom herauszufinden gehe wie folgt vor:
Berechne zunächst [mm]B:=A*A+I[/mm] und prüfe ob das die Nullmatrix ist.
Dann berechne [mm]B*B[/mm] und prüfe wieder auf Nullmatrix.
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> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 27.04.2008 | | Autor: | Annanna |
Hallo
und vielen Dank für deine Hilfe...ich dachte das Minimalpolynom bestimmt man über die Eigenwerte deswegen hat mich das ganze am Anfang etwas verwirrt :)
Ich habe jetzt folgendes raus:
für [mm] A^2 [/mm] trifft [mm] A^2 [/mm] + 1 =0 nicht zu...
aber: [mm] A^4 [/mm] = [mm] -2(A^2) [/mm] - 1
also ist das Minimalplynom: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 1 also genau das char. Polynom
Korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:48 So 27.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> und vielen Dank für deine Hilfe...ich dachte das Minimalpolynom bestimmt man über die
> Eigenwerte deswegen hat mich das ganze am Anfang etwas verwirrt :)
Das stimmt schon, allerdings liegen die Eigenwerte nicht immer im Grundkoerper. Allerdings haengt das Minimalpolynom nicht vom Grundkoerper ab, also ob du es ueber [mm] $\IC$ [/mm] bestimmst oder ueber [mm] $\IR$, [/mm] macht das keinen Unterschied. (Zumindest bei separablen Erweiterungen, aber das ist der Fall wenn der Grundkoerper [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IQ$ [/mm] oder endlich oder so ist.)
Hier liegen die Eigenwerte allerdings nicht im Grundkoerper [mm] $\IR$, [/mm] also betrachtest du die Zerlegung in irreduzible Polynome. In diesem Fall ist's [mm] $(x^2 [/mm] + [mm] 1)^2$. [/mm] Genauso wie bei der Version mit Eigenwerten probierst du dann die Teiler (ueber [mm] $\IR$!) [/mm] davon durch.
> für [mm]A^2[/mm] trifft [mm]A^2[/mm] + 1 =0 nicht zu...
>
> aber: [mm]A^4[/mm] = [mm]-2(A^2)[/mm] - 1
>
> also ist das Minimalplynom: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + 1 also genau das
> char. Polynom
Genau. Du hattest [mm] $A^4$ [/mm] uebrigens gar nicht ausrechnen muessen, da nach dem Satz von Cayley-Hamilton das char. Polynom sowieso $A$ als `Nullstelle' hat.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 So 27.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Das stimmt schon, allerdings liegen die Eigenwerte nicht
> immer im Grundkoerper. Allerdings haengt das Minimalpolynom
> nicht vom Grundkoerper ab, also ob du es ueber [mm]\IC[/mm]
> bestimmst oder ueber [mm]\IR[/mm], macht das keinen Unterschied.
> (Zumindest bei separablen Erweiterungen, aber das ist der
> Fall wenn der Grundkoerper [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IQ[/mm] oder endlich oder
> so ist.)
Was ich grad noch vergessen hatte als Anmerkung: wenn dir das nichts sagt ist nicht weiter schlimm. Wenn du dir das nochmal anschaust wenn du etwas ueber Galois-Theorie weisst, dann kannst du das nachvollziehen 
LG Felix
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