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| Aufgabe | Bestimmen sie die Minimalpolynome von
1.) [mm] \wurzel{2} [/mm] über [mm] \IQ
[/mm]
2.) [mm] \wurzel[105]{9} [/mm] über [mm] \IQ
[/mm]
3.) [mm] 1+\wurzel{2} [/mm] über [mm] \IQ (\wurzel{2}+\wurzel{3})
[/mm]
4.) 2-3i über [mm] \IR [/mm] |
Hallo!
Ich habe noch so meine Probleme bei der Aufgabe:
1.) Habe ich hinbekommen, das ist [mm] x^2-2. [/mm] Auf das Polynom bin ich durch Quadrieren gekommen, die Irreduzibilität dann mit Eisenstein gezeigt.
2.) Läuft das auf [mm] X^{105}-9 [/mm] raus? Ich schaffe es nämlich nicht zu zeigen dass das Irreduzibel ist.
3.) Wir haben schon gezeigt was das Minimalpolynom von [mm] \wurzel{2}+\wurzel{3} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist. Könnte das helfen?
4.) Leider keinen Ansatz :(
Wäre toll wenn mir hier jemand aushelfen könnte! Ich glaub ja dass das gar nicht so schwer ist, aber mir fehlen einfach ein paar Beispiele, damit ich mal sehe wie sowas funktioniert. Die 2-3 Standardbeispiele die ich kenne, helfen mir leider wenig.
Viele Grüße
quarkstollen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimmen sie die Minimalpolynome von
>
> 1.) [mm]\wurzel{2}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> 2.) [mm]\wurzel[105]{9}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> 3.) [mm]1+\wurzel{2}[/mm] über [mm]\IQ (\wurzel{2}+\wurzel{3})[/mm]
> 4.)
> 2-3i über [mm]\IR[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe noch so meine Probleme bei der Aufgabe:
>
> 1.) Habe ich hinbekommen, das ist [mm]x^2-2.[/mm] Auf das Polynom
> bin ich durch Quadrieren gekommen, die Irreduzibilität
> dann mit Eisenstein gezeigt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) Läuft das auf [mm]X^{105}-9[/mm] raus? Ich schaffe es nämlich
> nicht zu zeigen dass das Irreduzibel ist.
Am einfachsten ist es zu zeigen, dass [mm] $[\IQ(\sqrt[105]{9}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 105$ ist. Daraus folgt dann sofort, dass dein Polynom irreduzibel ist.
Zeige dazu: [mm] $\IQ(\sqrt[105]{9}) [/mm] = [mm] \IQ(\alpha)$, [/mm] wobei [mm] $\alpha$ [/mm] ein anderes Element ist dessen Minimalpolynom einfacher ist. Probier doch mal [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt[105]{3}$. [/mm] Offenbar gilt [mm] $\alpha^2 [/mm] = [mm] \sqrt[105]{9}$; [/mm] damit ist die eine Inklusion gezeigt. Was ist mit der anderen Inklusion? Kannst du sie auch zeigen? Gilt sie ueberhaupt?
> 3.) Wir haben schon gezeigt was das Minimalpolynom von
> [mm]\wurzel{2}+\wurzel{3}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ist. Könnte das helfen?
Weisst du, was [mm] $\IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3})$ [/mm] mit [mm] $\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ [/mm] zu tun hat?
Wenn du etwa zeigen kannst, dass $1 + [mm] \sqrt{2} \in \IQ(\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3})$ [/mm] ist, dann folgt sofort, dass das Minimalpolynom Grad 1 hat und von der Form $X - (1+ [mm] \sqrt{2})$ [/mm] ist.
> 4.) Leider keinen Ansatz :(
Beachte: ist $z [mm] \in \IC$ [/mm] eine komplexe Zahl, so gilt $z + [mm] \overline{z} \in \IR$ [/mm] und $z [mm] \overline{z} \in \IR$.
[/mm]
Was hat das mit Polynomen von Grad 2 zu tun?
LG Felix
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Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort! Toll das einem hier so gut geholfen wird!
> Moin!
>
> > Bestimmen sie die Minimalpolynome von
> >
> > 1.) [mm]\wurzel{2}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> > 2.) [mm]\wurzel[105]{9}[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
> > 3.) [mm]1+\wurzel{2}[/mm] über [mm]\IQ (\wurzel{2}+\wurzel{3})[/mm]
> >
> 4.)
> > 2-3i über [mm]\IR[/mm]
> > 2.) Läuft das auf [mm]X^{105}-9[/mm] raus? Ich schaffe es nämlich
> > nicht zu zeigen dass das Irreduzibel ist.
>
> Am einfachsten ist es zu zeigen, dass [mm][\IQ(\sqrt[105]{9}) : \IQ] = 105[/mm]
> ist. Daraus folgt dann sofort, dass dein Polynom
> irreduzibel ist.
>
> Zeige dazu: [mm]\IQ(\sqrt[105]{9}) = \IQ(\alpha)[/mm], wobei [mm]\alpha[/mm]
> ein anderes Element ist dessen Minimalpolynom einfacher
> ist. Probier doch mal [mm]\alpha = \sqrt[105]{3}[/mm]. Offenbar gilt
> [mm]\alpha^2 = \sqrt[105]{9}[/mm]; damit ist die eine Inklusion
> gezeigt. Was ist mit der anderen Inklusion? Kannst du sie
> auch zeigen? Gilt sie ueberhaupt?
>
Ich bin mir gerade nicht sicher, aber ich denke die andere Richtung bekomme ich hin - ich werde das gleich nochmal etwas intensivieren :)
> > 3.) Wir haben schon gezeigt was das Minimalpolynom von
> > [mm]\wurzel{2}+\wurzel{3}[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ist. Könnte das helfen?
>
> Weisst du, was [mm]\IQ(\sqrt{2} + \sqrt{3})[/mm] mit [mm]\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})[/mm]
> zu tun hat?
>
> Wenn du etwa zeigen kannst, dass [mm]1 + \sqrt{2} \in \IQ(\sqrt{2} + \sqrt{3})[/mm]
> ist, dann folgt sofort, dass das Minimalpolynom Grad 1 hat
> und von der Form [mm]X - (1+ \sqrt{2})[/mm] ist.
>
Ist etwa
[mm]\IQ(\sqrt{2} + \sqrt{3})[/mm] = [mm]\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})[/mm]?
Also ich weiß dass
[mm]\IQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})[/mm] = [mm]\IQ[\sqrt{2}, \sqrt{3}][/mm]
Weil dass [mm]1 + \sqrt{2} \in \IQ[\sqrt{2}, \sqrt{3}][/mm] ist, das kriege ich hin.
> > 4.) Leider keinen Ansatz :(
>
> Beachte: ist [mm]z \in \IC[/mm] eine komplexe Zahl, so gilt [mm]z + \overline{z} \in \IR[/mm]
> und [mm]z \overline{z} \in \IR[/mm].
>
> Was hat das mit Polynomen von Grad 2 zu tun?
>
Wäre etwa [mm]z \overline{z}[/mm] ein Polynom mit Variable i? Das hätte ja dann Grad 2, oder? Oder gerade nicht weil i²=-1, und somit doch nur Grad 1. Hm, ich stehe da gerade etwas auf dem Schlauch.
Viele Grüße,
quarkstollen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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