Minimalpolynom, char Polynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | B,C sind qadratische Matrizen. Beweise: (i) Das Minimalpolynom der Matrix [mm] A=\pmat{B&0\\0&C} [/mm] ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome von B und C und (ii) das charakteristische Polynom von A ist das Produkt der charakteristischen Polynome von B und C. |
Hallo,
die Sache mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, also (i) überblicke ich noch nicht so ganz. Vielleicht hat jemand einige Tipps.
Zu (ii).
Das charakteristische Polynom von B [mm] \chi_{B}(B)=det(\lambda E_{B}-B) [/mm] und für [mm] \chi_{C}(C)=det(\lambda E_{C}-C).
[/mm]
Jetzt ist doch das charakteristische Polynom von A nichts anderes, als [mm] det(\lambda E_{A}-A). [/mm] Ich betrachte das mal Genauer:
Die Einheitsmatrix bzgl A kann ich auch so schreiben: [mm] E_{A}=\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}. [/mm] Dann gilt für das charakteristische Polynom:
[mm] \chi_{A}(A)=det\left[\lambda\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}-A\right]=det\left[\lambda\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}\right]=det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right].
[/mm]
Jetzt habe ich nur mal die Frage, ob folgendes gilt:
[mm] det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right]=det\left(\lambda E_{B}-B\right)\cdot det(\lambda E_{C}-C). [/mm] Da muss ich ja irgendwie am Schluss hinkommen.
Ich meine das charakteristische Polynom von A kann ja normal nicht so berechnet werden:
[mm] det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right]=(\lambda E_{B}-B)\cdot(\lambda E_{C}-C), [/mm] weil da dann ja wieder eine Matrix rauskommen würde.
Oder ist irgendwo was falsch?
Gruß Sleeper
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> B,C sind qadratische Matrizen. Beweise: (i) Das
> Minimalpolynom der Matrix [mm]A=\pmat{B&0\\0&C}[/mm] ist das
> kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome von B und
> C und (ii) das charakteristische Polynom von A ist das
> Produkt der charakteristischen Polynome von B und C.
> Hallo,
>
> die Sache mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen, also
> (i) überblicke ich noch nicht so ganz. Vielleicht hat
> jemand einige Tipps.
Hallo,
Du darfst ja voraussetzen, daß Du die Minimalpolynome [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] hast, sowie ihr kgV m.
Dann wurde ich mir erstmal überlegen, was Du bekommst, wenn Du $ [mm] A=\pmat{B&0\\0&C} [/mm] $ in ein beliebiges Polynom p einsetzt.
Danach versuche vorzurechnen, daß m(A)=0 ist.
Anschließend mußt Du Dir noch einen Grund überlegen, warum es kein Polynom kleineren Grades gibt, welches es tut.
> Zu (ii).
> Das charakteristische Polynom von B
> [mm]\chi_{B}(B)=det(\lambda E_{B}-B)[/mm] und für
> [mm]\chi_{C}(C)=det(\lambda E_{C}-C).[/mm]
>
> Jetzt ist doch das charakteristische Polynom von A nichts
> anderes, als [mm]det(\lambda E_{A}-A).[/mm] Ich betrachte das mal
> Genauer:
>
> Die Einheitsmatrix bzgl A kann ich auch so schreiben:
> [mm]E_{A}=\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}.[/mm]
> Dann gilt für das charakteristische Polynom:
>
> [mm]\chi_{A}(A)=det\left[\lambda\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}-A\right]=det\left[\lambda\begin{pmatrix}E_{B} & 0\\
0 & E_{C}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}\right]=det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right].[/mm]
>
> Jetzt habe ich nur mal die Frage, ob folgendes gilt:
>
> [mm]det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right]=det\left(\lambda E_{B}-B\right)\cdot det(\lambda E_{C}-C).[/mm]
Ja, das gilt.
Stichwort: Determinanten von Blockmatrizen.
Ich vermute, daß Ihr früher mal gezeigt habt, daß det( [mm] \pmat{A&0\\0&B} [/mm] )=det(A)*det(B), und das kannst Du dann verwenden.
Andernfalls mußt Du's noch zeigen. (Sollte auch in Büchern stehen.)
Gruß v. Angela
> Da muss ich ja irgendwie am Schluss hinkommen.
> C
> Ich meine das charakteristische Polynom von A kann ja
> normal nicht so berechnet werden:
>
> [mm]det\left[\begin{pmatrix}\lambda E_{B}-B & 0\\
0 & \lambda E_{C}-C\end{pmatrix}\right]=(\lambda E_{B}-B)\cdot(\lambda E_{C}-C),[/mm]
> weil da dann ja wieder eine Matrix rauskommen würde.
>
> Oder ist irgendwo was falsch?
>
> Gruß Sleeper
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Erstmal danke bisher.
(ii) habe ich fertig.
> > B,C sind qadratische Matrizen. Beweise: (i) Das
> > Minimalpolynom der Matrix [mm]A=\pmat{B&0\\0&C}[/mm] ist das
> > kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome von B und
> > C und (ii) das charakteristische Polynom von A ist das
> > Produkt der charakteristischen Polynome von B und C.
> > Hallo,
>
> Hallo,
>
> Du darfst ja voraussetzen, daß Du die Minimalpolynome [mm]m_B[/mm]
> und [mm]m_C[/mm] hast, sowie ihr kgV m.
Seien [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] Minimalpolynome von B und C und sei m ihr kgV.
Dann ist [mm] m=k\cdot m_B+l\cdot m_C, [/mm] wobei k,l Körperelemente sind.
> Dann wurde ich mir erstmal überlegen, was Du bekommst, wenn
> Du [mm]A=\pmat{B&0\\0&C}[/mm] in ein beliebiges Polynom p
> einsetzt.
Ich weiß ehrlich gesagt, was mir das bringen soll, bzw. verstehe den Zweck nicht.
> Danach versuche vorzurechnen, daß m(A)=0 ist
>
Wie kann ich das machen? Ich weiß ja dass [mm] m_B(B)=0 [/mm] und [mm] m_C(C)=0. [/mm] Das muss ich irgendwie verwenden und dann mit der Def. von A argieren??
> Anschließend mußt Du Dir noch einen Grund überlegen, warum
> es kein Polynom kleineren Grades gibt, welches es tut.
Ich komme mit der Argumentation noch nicht ganz weiter, leider.
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> > > B,C sind qadratische Matrizen. Beweise: (i) Das
> > > Minimalpolynom der Matrix [mm]A=\pmat{B&0\\0&C}[/mm] ist das
> > > kleinste gemeinsame Vielfache der Minimalpolynome von B und
> > > C und
> Seien [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] Minimalpolynome von B und C und sei m ihr
> kgV.
> Dann ist [mm]m=k\cdot m_B+l\cdot m_C,[/mm] wobei k,l Körperelemente
> sind.
>
>
> > Dann wurde ich mir erstmal überlegen, was Du bekommst, wenn
> > Du [mm]A=\pmat{B&0\\0&C}[/mm] in ein beliebiges Polynom p
> > einsetzt.
>
> Ich weiß ehrlich gesagt, was mir das bringen soll, bzw.
> verstehe den Zweck nicht.
Hallo,
tja, manchmal muß man Dinge tun, um den Zweck zu verstehen. Mitunter enthüllt er sich erst später.
Du kannst natürlich auch gleich in den ggT von [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] einsetzen.
>
> > Danach versuche vorzurechnen, daß m(A)=0 ist
> >
>
> Wie kann ich das machen? Ich weiß ja dass [mm]m_B(B)=0[/mm] und
> [mm]m_C(C)=0.[/mm] Das muss ich eingesetzt in ein Polynom ergibt.irgendwie verwenden und dann mit der
> Def. von A argieren??
Ja. Und damit, daß Du weißt, was A
> Ich komme mit der Argumentation noch nicht ganz weiter,
> leider.
Ich kann im Moment wenig dazu sagen, weil ich nicht weiß, was Du wirklich schon getan hast.
Das Du ermittelst, was Du erhältst, wenn Du A in ein Polynom einsetzt, ist nessentiell.
Gruß v. Angela
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Ich probiere einfach mal etwas zusammenzufassen.
Ich habe die beiden Minimalpolynome [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] und deren kgV [mm] m:=k\cdot m_B+l\cdot m_C.
[/mm]
Wenn ich da nun A einsetze folgt:
[mm] m(A)=k\cdot m_{B}\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}+l\cdot m_{C}\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}
[/mm]
Ist dann das das gleiche wie folgendes: (?)
k [mm] m_{B}(B)\cdot m_{B}(C)+l m_{C}(B)\cdot m_{C}(C).
[/mm]
Das würde dann die Nullmatrix liefern.
In diesem Fall müsste ich dann noch folgern, dass kein kleineres Polynom existiert, sodass p(A)=0 gilt. Wie kann ich das machen? Muss nicht der ggT von [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] gleich 1 sein? Wieso muss ich in den ggT noch A einsetzen, wie es oben gesagt wurde und vor allem wie stelle ich das formal dar?
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> Ich habe die beiden Minimalpolynome [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] und deren
> kgV [mm]m:=k\cdot m_B+l\cdot m_C.[/mm]
Hallo,
was soll denn das bedeuten? Zumindest müßtest Du Dich noch entscheiden, ob ein "für alle" dazugehört oder "es existieren".
Mehr Gewinn bringt es allerdings, wenn Du Dich darüber informierst, was mit kgV gemeint ist. (ggT kannst Du Dir gleich mit angucken.
Überleg doch mal: kein Grundschüler würde für das kgV von 15 und 20 Vielfache von 15 und 20 addieren. Das ist doch Kokolores.
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Nicht ganz klar ist mir, ob Du inzwischen mal ausgerechnet hast, was rauskommt, wenn Du A in ein Polynom einsetzt. in ein Polynom einsetzt.
Mach doch mal ein Beispiel, etwa p(t)= [mm] t^3 [/mm] + [mm] 2t^2+3t [/mm] + 4.
Und nun berechne p(A).
Damit meine ich: rechne p(A)= [mm] A^3 [/mm] + [mm] 2A^2+3A [/mm] + 4E aus.
Gruß v. Angela
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> > Ich habe die beiden Minimalpolynome [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] und deren
> > kgV [mm]m:=k\cdot m_B+l\cdot m_C.[/mm]
>
> Hallo,
>
> was soll denn das bedeuten? Zumindest müßtest Du Dich noch
> entscheiden, ob ein "für alle" dazugehört oder "es
> existieren".
> Mehr Gewinn bringt es allerdings, wenn Du Dich darüber
> informierst, was mit kgV gemeint ist. (ggT kannst Du Dir
> gleich mit angucken.
Gut ich nehme alles zurück. Denn [mm] ggT(m_B,m_C) [/mm] kann man so darstellen, also [mm] ggT=km_C [/mm] + [mm] lm_B [/mm] mit [mm] k,l\in \mathbb{Z}.
[/mm]
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist [mm] kgV(m_B,m_C)=\frac{|m_b\cdot m_C|}{ggT(m_B,m_C)}.
[/mm]
Ich spinne jetzt mal meine Gedanken weiter, in der Hoffnung, dass nicht wieder nur Falsches rauskommt.
Der [mm] ggT(m_B,m_C) [/mm] müsste 1 sein, dann ist das [mm] kgV(m_B,m_C) [/mm] wirklich das kleinste Polynom, für das gilt m(A)=0, also das Minimalpolynom von A.
Dazu müsste ich dann noch nachweisen, dass der ggT wirklich 1 ist.
> Mach doch mal ein Beispiel, etwa p(t)= [mm]t^3[/mm] + [mm]2t^2+3t[/mm] + 4.
> Und nun berechne p(A).
> Damit meine ich: rechne p(A)= [mm]A^3[/mm] + [mm]2A^2+3A[/mm] + 4E aus.
Wenn ich A einsetze, komme ich zu:
[mm] p(A)=\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}^{3}+2\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}^{2}+3\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}+4E&=&\begin{pmatrix}B^{3} & 0\\
0 & C^{3}\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}B^{2} & 0\\
0 & C^{2}\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}+4E\\&=&\begin{pmatrix}B^{3}+2B^{2}+3B+4 & 0\\
0 & C^{3}+C^{2}+3C+4\end{pmatrix}.
[/mm]
So richtig?
Wenn alles stimmt, muss ich also noch zeigen, ggT=1 und kgV(A)=0. Da hakt es nun noch. Das was ich für p(A) oben gezeigt habe, soll mir vermutlich als Vorbereitung zur Berechnung des ggT dienen oder?
Trotzdem habe ich dann noch das Problem, dass da [mm] m_{B}(A)=m_{B}(\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}) [/mm] sowas drin steht. Wie vereinfache ich da weiter?
>
> Gruß v. Angela
>
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> >
> > > Ich habe die beiden Minimalpolynome [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] und deren
> > > kgV [mm]m:=k\cdot m_B+l\cdot m_C.[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > was soll denn das bedeuten? Zumindest müßtest Du Dich noch
> > entscheiden, ob ein "für alle" dazugehört oder "es
> > existieren".
> > Mehr Gewinn bringt es allerdings, wenn Du Dich darüber
> > informierst, was mit kgV gemeint ist. (ggT kannst Du Dir
> > gleich mit angucken.
>
> Gut ich nehme alles zurück. Denn [mm]ggT(m_B,m_C)[/mm] kann man so
> darstellen, also [mm]ggT=km_C[/mm] + [mm]lm_B[/mm] mit [mm]k,l\in \mathbb{Z}.[/mm]
Hallo,
genau, es existieren k,l so, daß das da oben gilt.
>
> Das kleinste gemeinsame Vielfache ist
> [mm]kgV(m_B,m_C)=\frac{|m_b\cdot m_C|}{ggT(m_B,m_C)}.[/mm]
Ja.
Vor allem kann man aber erstmal festhalten: wenn m das kleinste gemeinsame Vielfache von [mm] m_B [/mm] und [mm] m_C [/mm] ist, dann ist m ein Vielfache von [mm] m_A [/mm] und von [mm] m_B, [/mm] es gibt also Polynome [mm] p_A [/mm] und [mm] p_B [/mm] mit [mm] m=p_A*m_A [/mm] und [mm] m=p_B*m_B.
[/mm]
>
> Ich spinne jetzt mal meine Gedanken weiter, in der
> Hoffnung, dass nicht wieder nur Falsches rauskommt.
>
> Der [mm]ggT(m_B,m_C)[/mm] müsste 1 sein, dann ist das [mm]kgV(m_B,m_C)[/mm]
> wirklich das kleinste Polynom, für das gilt m(A)=0, also
> das Minimalpolynom von A.
Von ggT=1 ist in der Aufgabenstellung nicht die Rede.
>
> > Mach doch mal ein Beispiel, etwa p(t)= [mm]t^3[/mm] + [mm]2t^2+3t[/mm] + 4.
> > Und nun berechne p(A).
> > Damit meine ich: rechne p(A)= [mm]A^3[/mm] + [mm]2A^2+3A[/mm] + 4E aus.
>
> Wenn ich A einsetze, komme ich zu:
> [mm]p(A)=\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}^{3}+2\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}^{2}+3\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}+4E&=&\begin{pmatrix}B^{3} & 0\\
0 & C^{3}\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}B^{2} & 0\\
0 & C^{2}\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}B & 0\\
0 & C\end{pmatrix}+4E\\&=&\begin{pmatrix}B^{3}+2B^{2}+3B+4 & 0\\
0 & C^{3}+C^{2}+3C+4\end{pmatrix}.[/mm]
>
> So richtig?
Ja. Ich bin entzückt, und ich hoffe, daß Du inzwischen ahnst, daß das nicht nur Beschäftigungstherapie sein soll.
Merkst Du, daß gilt [mm] p(A)=\pmat{ p(B) & 0 \\0& p(C)} [/mm] ?
Und jetzt kannst jetzt kannst Du ja mal m(A) ausrechnen - Du wirst ein Erfolgserlebnis haben.
Danach muß man sich noch überlegen, warum es kein kleineres Polynom als dieses kgV gibt, welches es tut.
Gruß v. Angela
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> Vor allem kann man aber erstmal festhalten: wenn m das
> kleinste gemeinsame Vielfache von [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] ist, dann ist
> m ein Vielfache von [mm]m_A[/mm] und von [mm]m_B,[/mm] es gibt also Polynome
> [mm]p_A[/mm] und [mm]p_B[/mm] mit [mm]m=p_A*m_A[/mm] und [mm]m=p_B*m_B.[/mm]
Brauch man das überhaupt für den finalen Beweis oder war es nur zur Hinführung gedacht. Ich meine letztenendes kann ich doch dann berechnen: [mm] m(A)=\begin{pmatrix}m_{B}(B) & 0\\
0 & m_{C}(C)\end{pmatrix}=0.
[/mm]
Damit hätte ich das dann doch auch ohne entsprechende Polynome [mm] p_A [/mm] usw.
Oder brauche ich das dann nur für die Schlussfolgerung (?), dass es keine kleineren Polynome gibt, weil dann hätte ich [mm] m(A)=p_A(A)\cdot m_A(A), [/mm] und daraus würde dann folgen, da m(A)=0 und [mm] m_A(A)=0, [/mm] dass [mm] m_A(A)=m(A).
[/mm]
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> > Vor allem kann man aber erstmal festhalten: wenn m das
> > kleinste gemeinsame Vielfache von [mm]m_B[/mm] und [mm]m_C[/mm] ist, dann ist
> > m ein Vielfache von [mm]m_A[/mm] und von [mm]m_B,[/mm] es gibt also Polynome
> > [mm]p_A[/mm] und [mm]p_B[/mm] mit [mm]m=p_A*m_A[/mm] und [mm]m=p_B*m_B.[/mm]
>
> Brauch man das überhaupt für den finalen Beweis oder war es
> nur zur Hinführung gedacht. Ich meine letztenendes kann ich
> doch dann berechnen: [mm]m(A)=\begin{pmatrix}m_{B}(B) & 0\\
0 & m_{C}(C)\end{pmatrix}=0.[/mm]
Hallo,
das geht etwas fix für mein schwaches Hirn, , denn [mm] m(A)=\begin{pmatrix}{m(B) & 0\\0 & m}(C)\end{pmatrix}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Gut. m(A)=0 ist also klar.
Kann man nun folgendes folgern:
[mm] m(A)=p_{A}(A)\cdot m_{A}(A)=p_{A}(A)\cdot0=0\Rightarrow k=m_{A}
[/mm]
(?) Oder muss die Schlussfolgerung, dass das bereits das Minimalpolynom von A ist anders ausfallen?
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> Gut. m(A)=0 ist also klar.
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> Kann man nun folgendes folgern:
> [mm]m(A)=p_{A}(A)\cdot m_{A}(A)=p_{A}(A)\cdot0=0\Rightarrow k=m_{A}[/mm]
Hallo,
ich versteh's jedenfalls nicht, schon deshalb nicht, weil ich nicht weiß, was k darstellen soll.
>
> (?) Oder muss die Schlussfolgerung, dass das bereits das
> Minimalpolynom von A ist anders ausfallen?
Bisher hat man doch nur gezeigt, daß m(A)=0 ist, aber das ist ja noch nicht alles, was vom Minimalpolynom gefordert wird.
Gruß v. Angela
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> ich versteh's jedenfalls nicht, schon deshalb nicht, weil
> ich nicht weiß, was k darstellen soll.
Oh Entschuldigung, dass k ist =m. Habe mich verschrieben.
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> Bisher hat man doch nur gezeigt, daß m(A)=0 ist, aber das
> ist ja noch nicht alles, was vom Minimalpolynom gefordert
> wird.
>
> Gruß v. Angela
Was muss ich noch zeigen? Das Minimalpolynom ist das kleinste normierte Polynom einer Matrix A, für das gilt [mm] m_A(A)=0.
[/mm]
Muss ich also noch zeigen, dass mein m(A) normiert ist oder das zumindest irgendwie begründen und dass es kein kleineres normiertes Polynom gibt, für das gilt: Wenn ich A einsetze, kommt die Nullmatrix raus.
Oder worauf möchtest du hinaus?
Wie sollte mein weiteres Vorgehen aussehen, damit ich die Aufgabe endlich abschließen kann?
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> Was muss ich noch zeigen? Das Minimalpolynom ist das
> kleinste normierte Polynom einer Matrix A, für das gilt
> [mm]m_A(A)=0.[/mm]
> Muss ich also noch zeigen, dass mein m(A) normiert ist
> oder das zumindest irgendwie begründen und dass es kein
> kleineres normiertes Polynom gibt, für das gilt:
Hallo,
ja, daß es kein kleineres gibt, das ist der casus knacktus.
Gruß v. Angela
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Ja das hatte ich so gedacht, was wahrscheinlich nicht stimmt, weil ich da ja nicht mit der Eigenschaft agiere, dass das Minimalpolynom normiert ist:
Jetzt ist m aber auch Vielfaches eines Polynoms [mm] p_{A} [/mm] und des Minimalpolynoms [mm] m_{A} [/mm] von A, d.h. [mm] m(A)=p_{A} m_{A}. [/mm] Nun folgt: [mm] m(A)=p_{A}(A)\cdot m_{A}(A)=p_{A}(A)\cdot0=0\Rightarrow m=m_{A}.
[/mm]
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> Ja das hatte ich so gedacht, was wahrscheinlich nicht
> stimmt, weil ich da ja nicht mit der Eigenschaft agiere,
> dass das Minimalpolynom normiert ist:
Hallo,
ddie Normeirtheit ist nicht das Problem. es geht darum, daß man irgendwie beweisen muß, daß es kein Polynom m' von kleinerem grad als m gibt mit m'(A)=0.
> Jetzt ist m aber auch Vielfaches eines Polynoms [mm]p_{A}[/mm] und
> des Minimalpolynoms [mm]m_{A}[/mm] von A, d.h. [mm]m(A)=p_{A} m_{A}.[/mm] #
Bis hierher folge ich.
>Nun
> folgt: [mm]m(A)=p_{A}(A)\cdot m_{A}(A)=p_{A}(A)\cdot0=0\Rightarrow m=m_{A}.[/mm]
>
Der Folgerung folge ich nicht. Ich kann nur ablesen, daß m(A)=0 ist, die Minimalpolynomeigenschaft sehe ich noch nicht.
Ich gehe doch stark davon aus, daß hier zum tragen kommt, daß m nicht irgendein gemeinsames Vielfaches von [mm] m_b [/mm] und [mm] m_c [/mm] ist, sondern das kleinste gemeinsame Vielfache.
Gruß v. Angela
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