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Hallo, ich würde gerne wissen, wie ich das Minimalpolynom einer Matrix bestimme! Vielleicht könnt ihr mir das an folgendem Beispiel erklären:
[mm]\begin{pmatrix}
1&2&0&4\\
0&2&3&1\\
0&0&3&0\\
0&0&0&3
\end{pmatrix}[/mm] sei die Matrix und das charakteristische Polynom ist [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2[/mm]
Hoffe, hab alles richtig geschrieben! Danke schon mal
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Also das Minimalpolynom ist - wie der name schon sagt- das kleinste Polynom, dass die Matrix annuliert. Also das Char. Polynom tut das ja schon mal, also ist es ein guter Kandidat für das Minimalpolynom :o) Aber es könnte ja auch ncoh kleinere geben.. das Minimalpolynom teil das char polynom und beide haben die gleichen Nullstellen.. allerdings mit verschiedener vielfachheit. Also wenn dein char polynom so aussieht, wie angegeben, kann es nur noch einen kandidaten geben (welchen?!) und dann ausprobieren!
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Vielen Dank,
aber die Definition und Eigenschaften kenne ich schon, kann aber damit nicht wirklich was anfangen. Ich würde gerne konkret wissen wie ich es bestimmen kann. Muss ich einfach nur den höchsten Grad des char. Polynoms weglassen?
Grüsse
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Also du hast das CharPoly ja in Linearfaktoren gegeben. Damit das Minimalpoly nun die selben Nullstellen hat, aber kleineren Grad, gibt es nur noch einen möglichen Kandidaten: das Polynom mit nur den Linearfaktoren ohne die Hochzahlen. Nimm also dieses Polynom und setz deine Matrix A ein. Kommt Null heraus hast du das Minimalpolynom.. wenn nicht dann ist das chatpoly das minimalpoly
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Fr 11.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Eva,
willkommen im MatheRaum  !
> Hallo, ich würde gerne wissen, wie ich das Minimalpolynom
> einer Matrix bestimme! Vielleicht könnt ihr mir das an
> folgendem Beispiel erklären:
> [mm]\begin{pmatrix}
> 1&2&0&4\\
> 0&2&3&1\\
> 0&0&3&0\\
> 0&0&0&3
> \end{pmatrix}[/mm]
> sei die Matrix und das charakteristische Polynom ist
> [mm](x-1)(x-2)(x-3)^2[/mm]
Ich habe das charakteristische Polynom nicht kontrolliert, ich sage dir nur, wie du daraus das Minimalpolynom ermitteln kannst. Das hat zwar BigFella bereits getan, ich wollte es aber noch etwas konkreter darstellen:
Das charakteristische Polynom [mm]p(x)=(x-1)(x-2)(x-3)^2[/mm] hat die drei Linearfaktoren x-1, x-2, x-3.
Um das Minimalpolynom zu bestimmen, dividierst du nacheinander das char. Polynom durch die Linearfaktoren, gegebenenfalls mehrmals durch denselben Faktor gemäß seiner Potenz im char. Polynom.
Dadurch wird schrittweise der Grad des char. Polynom verringert, und zwar so, dass die Eigenschaft m(A)=0 erhalten bleibt.
Zu Beginn setze ich m(X)=p(X)
In deinem Beispiel würdest du diese Liste nacheinander abarbeiten: x-1, x-2, x-3, x-3 (Reihenfolge spielt keine Rolle).
Nach jeder Division überprüfst du, ob immer noch m(A)=0 gilt; falls nicht, mache die Devision wieder rückgängig:
m'(X):=m(X):(X-1)
Falls m'(A)=0, dann setze m:=m', sonst behalte m bei.
m'(X):=m(X):(X-2)
Falls m'(A)=0, dann setze m:=m'
m'(X):=m(X):(X-3)
Falls m'(A)=0, dann setze m:=m' und führe die Division mit diesem Linearfaktor erneut durch, sonst mache mit dem nächsten (unterschiedlichen) Linearfaktor weiter (in diesem Fall würde das Verfahren aber enden, da es keinen weiteren Linearfaktor gibt).
(Diesen Schritt nur gehen, falls der vorherige Schritt "erfolgreich" war.)
m'(X):=m(X):(X-3)
Falls m'(A)=0, dann setze m:=m'
Die Divisionen sind natürlich ganz einfach durchzuführen, da p(x) ja bereits aus Linearfaktoren besteht.
Probier' das doch mal mit deiner Matrix und zeige uns deine Ergebnisse zum Vergleich.
Viel Erfolg,
Marc
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