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Minimalwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 26.08.2017
Autor: senmeis

Servus,

ich muss folgende Aufgabe lösen.

Ein 6x1 ganzzahliger Vektor [mm] \vec{x} [/mm] wird gesucht damit
[mm] (a-x)^{t}\*b\*(a-x) [/mm]
minimal ist,
wobei
[mm] \vec{a}: [/mm] 6x1 konstanter Vektor,
[mm] \vec{b}: [/mm] 6x6 konstante Matrix.

Alle Elemente in [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] sind reelle Zahlen.

Ein natürlicher Gedanke ist, [mm] \vec{x} [/mm] muss sich irgendwie in der Nähe von [mm] \vec{a} [/mm] befinden, denn [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] => Ausdruck = 0, also minimal.

Senmeis


        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 So 27.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo senmeis

Dein Beitrag ist nicht korrekt lesbar. Im Quelltext konnte ich eruieren, dass es offenbar um

      $\ [mm] (a-x)^T [/mm] * B * (a-x) $

gehen soll.  Aber was genau soll nun minimal werden ?

Sind im übrigen der Vektor a und die Matrix B  gar nicht im Detail angegeben ?

Natürlich würde der obige Term einfach Null liefern, wenn man x:=a  setzt ...

LG ,    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 So 27.08.2017
Autor: angela.h.b.


> Natürlich würde der obige Term einfach Null liefern, wenn
> man x:=a setzt ...

Hallo,

x soll ganzzahlige Einträge haben.

LG Angela

Bezug
                        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:07 So 27.08.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> x soll ganzzahlige Einträge haben.

Danke Angela, das hatte ich übersehen, wohl auch weil ich ein anderes Problem habe: Die Formeln werden bei mir nicht angezeigt.

LG ,  Al

Bezug
        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Mo 28.08.2017
Autor: fred97


> Servus,
>  
> ich muss folgende Aufgabe lösen.
>  
> Ein 6x1 ganzzahliger Vektor [mm]\vec{x}[/mm] wird gesucht damit
> [mm](a-x)^{t}\*b\*(a-x)[/mm]
>  minimal ist,
>  wobei
>  [mm]\vec{a}:[/mm] 6x1 konstanter Vektor,
>  [mm]\vec{b}:[/mm] 6x6 konstante Matrix.
>  
> Alle Elemente in [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] sind reelle Zahlen.
>  

Setze $ [mm] f(x)=(a-x)^{t}\*b\*(a-x)$. [/mm] Dann ist

$f'(x)=grad f(x)=- [mm] b(x-a)+b^t(x-a)$. [/mm]

Ist [mm] x_0 [/mm] eine Minimalstelle von f, so ist [mm] f'(x_0)=0. [/mm]


> Ein natürlicher Gedanke ist, [mm]\vec{x}[/mm] muss sich irgendwie
> in der Nähe von [mm]\vec{a}[/mm] befinden, denn [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm]
> => Ausdruck = 0, also minimal.

Na ja, das stimmt z.B. im Falle, wenn b symmetrisch und positiv definit ist.

In anderen Fällen .... ?


>  
> Senmeis
>  


Bezug
                
Bezug
Minimalwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Di 29.08.2017
Autor: senmeis

Im Prinzip spielt es keine Rolle, welche Werte a und b aufnehmen, aber ich gebe Beispielswerte trotzdem.

a = [mm] \vektor{-0.39 \\ -3.99 \\ 1.01 \\ 0.57 \\ -0.70 \\ -2.81} [/mm]

b = [mm] \pmat{ 1.1 & -0.2 & 0.19 & -1.03 & 0.69 & -0.47 \\ -0.2 & 0.17 & -0.25 & 0.43 & -0.06 & -0.05 \\ 0.19 &-0.25 & 0.88 & -0.62 & -0.21 &0.29 \\ -1.03 & 0.43 & -0.62 & 1.59 & -0.3 & 0.04 \\ 0.69 & -0.06 & -0.21 & -0.3 & 0.97 & -0.62 \\ -0.47 & -0.05 & 0.29 & 0.04 & -0.62 & 0.59}: [/mm] symmetrisch

Senmeis



Bezug
                        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Di 29.08.2017
Autor: fred97


> Im Prinzip spielt es keine Rolle, welche Werte a und b
> aufnehmen, aber ich gebe Beispielswerte trotzdem.
>  
> a = [mm]\vektor{-0.39 \\ -3.99 \\ 1.01 \\ 0.57 \\ -0.70 \\ -2.81}[/mm]
>  
> b = [mm]\pmat{ 1.1 & -0.2 & 0.19 & -1.03 & 0.69 & -0.47 \\ -0.2 & 0.17 & -0.25 & 0.43 & -0.06 & -0.05 \\ 0.19 &-0.25 & 0.88 & -0.62 & -0.21 &0.29 \\ -1.03 & 0.43 & -0.62 & 1.59 & -0.3 & 0.04 \\ 0.69 & -0.06 & -0.21 & -0.3 & 0.97 & -0.62 \\ -0.47 & -0.05 & 0.29 & 0.04 & -0.62 & 0.59}:[/mm]
> symmetrisch
>  

und was ist nun deine frage ?


> Senmeis
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Minimalwert bestimmen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:08 Fr 01.09.2017
Autor: senmeis

Vermutlich führt diese grad f(x) = 0 Methode zu x = a, aber alle Elemente in x sollen ganzzahlig sein. Das ist der Kernpunkt dieses Prblems. Wie oben erwähnt ist Matrix b tatsächlich symmetrisch. Also analytische Lösung gesucht.

Senmeis


Bezug
                        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 03.09.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:38 Di 05.09.2017
Autor: fred97


> Vermutlich führt diese grad f(x) = 0 Methode zu x = a,

Im allgemeinen nicht !


> aber alle Elemente in x sollen ganzzahlig sein. Das ist der
> Kernpunkt dieses Prblems. Wie oben erwähnt ist Matrix b
> tatsächlich symmetrisch. Also analytische Lösung
> gesucht.

Es hilft nix, man mag es bedauern aber ändern kann man es nicht:

Wenn f in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Extremum hat, so ist grad [mm] f(x_0)=0. [/mm] Die Lösung Deines Minimierungsproblems findet sich also unter den Nullstellen des Gradienten.


>  
> Senmeis
>  


Bezug
                                
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Mi 06.09.2017
Autor: senmeis

Ich denke, das Verfahren mit grad f(x) = 0 funktioniert nicht solange x ganzzahlig sein muss. Dies ist leicht zu kennen bei Gleichung mit einer Variable.

Senmeis


Bezug
                                        
Bezug
Minimalwert bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Mi 06.09.2017
Autor: Chris84


> Ich denke, das Verfahren mit grad f(x) = 0 funktioniert
> nicht solange x ganzzahlig sein muss. Dies ist leicht zu
> kennen bei Gleichung mit einer Variable.
>  
> Senmeis
>  

Ich glaube, ich verstehe (man moege bitte korrigieren):

Kann es sein, dass du meinst, dass man quasi alle (!) $x$ mit ganzzahligen Eintraegen in die Funktion einsetzt und den Wert ausrechnet. Und dann willst du halt wissen, fuer welchen Vektor $x$ das kleinste Ergebnis rauskommt!?

Das bekommt man tatsaechlich nicht notwendigerweise mit grad $f$=0.




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