Minimierung Oberfläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Sa 31.07.2010 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | Eine oben offene Dose hat das gegebene Volumen V.
Minimieren Sie die zur Herstellung der Dose nötige Metallmenge! |
Hallo,
hier geht es um die Lösung der o.A. Aufgabenstellung.
Prinzipiell handelt es sich dabei ja zunächst um einen oben offenen Zylinder, dessen Verhältnis von Radius und Höhe so gewählt werden soll, dass V dem vorgegebenen Wert entspricht und die Oberfläche (bzw. Mantelfläche + 1 mal Boden) minimiert werden soll.
Wie geht man hier vor und stellt eine entsprechende Gleichung auf, die diese Bedingungen berücksichtigt? Ich komme da leider nicht weiter. :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 31.07.2010 | | Autor: | geograf |
Zuerst muss man eine der beiden Variablen Höhe (h) und Radius (r) des Zylinders mithilfe des vorgegebenen Volumens (V) eliminieren.
[mm] V=r^{2}\pi{h}, [/mm] daraus folgt [mm] h=\bruch{V}{r^{2} \pi} [/mm] .
Oberfläche O = [mm] 2{r}\pi{h} [/mm] + [mm] r^{2}\pi [/mm] .
Für h die erste Formel einsetzen, es ergibt sich ein Ausdruck für O, der nur mehr die Variable r beinhaltet. Für die Extremwertsuche muss dieser Ausdruck
O(r) nach r differenziert und gleich null gesetzt werden.
Daraus ergeben sich dann Fixwerte für r und damit auch für h. Vor allem der Wert von h war für mich ziemlich verblüffend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Mi 01.09.2010 | | Autor: | Selageth |
Hallo nochmal!
Hat was gedauert mit der zusätzlichen Frage, aber hier ist sie:
Ich rechne wie genannt, allerdings komme ich bei allen Werten auf 0. Die Rechnung geht wie folgt:
V = 10 dm³ (als Beispiel)
V = [mm] r^2*Pi*h
[/mm]
Das führt zu:
h = [mm] \bruch{V}{r^2*Pi}
[/mm]
Formel für Oberfläche mit nur 1 Deckel (ob die innere Oberfläche jetzt mitgerechnet werden soll, war nicht klar):
O = M+G (statt M+2*G)
Mit M = [mm] 2*Pi*r^2*h [/mm] und G = [mm] Pi*r^2 [/mm] ergibt sich also:
O = [mm] 2*Pi*r^2*h [/mm] + [mm] Pi*r^2
[/mm]
Wenn man nun die Werte der nach h umgestellten Formel für V einfügt:
O = [mm] 2*Pi*r^2*\bruch{10dm^3}{r^2*Pi} [/mm] + [mm] Pi*r^2 [/mm] = O(r)
Wenn dieser Ausdruck O(r) nach r differenziert wird, ergibt sich ja folgender Ausdruck:
O'(r) = 2*r*Pi
Aber wenn ich diesen nun Null setze und nach r auflöse, erhalte ich für r kein gültiges Ergebnis. Ich müsste ja die 0 durch 2 bzw. Pi teilen und das ergibt 0. Genau wie dann auch h 0 sein müsste.
Wo liegt bei mir der Denk- bzw. Rechenfehler?
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> V = 10 dm³ (als Beispiel)
> V = [mm]r^2*Pi*h[/mm]
>
> Das führt zu:
>
> h = [mm]\bruch{V}{r^2*Pi}[/mm]
>
> Formel für Oberfläche mit nur 1 Deckel (ob die innere
> Oberfläche jetzt mitgerechnet werden soll, war nicht
> klar):
Hallo,
ich finde, daß dies aus der Aufgabenstellung klar ist: es geht ja um die benötigte Metallmenge und nicht darum, daß die Dose innen und außen angepinselt werden soll.
>
> O = M+G (statt M+2*G)
Genau.
>
> Mit M = [mm]2*Pi*r^2*h[/mm] und G = [mm]Pi*r^2[/mm] ergibt sich also:
Deine Mantelformel ist verkehrt.Richtig wäre [mm]M=2\pi rh[/mm]
Gruß v. Angela
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