matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenZahlentheorieMinimum
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Zahlentheorie" - Minimum
Minimum < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:59 Fr 02.01.2015
Autor: Nrjunkie

Aufgabe
Seien [mm] $2 Bestimme eine möglichst gute untere Schranke von
[mm] $\prod_{i=1}^{k}a_i [/mm] - [mm] \prod_{i=1}^{k}(a_i-1)$ [/mm]


ich habe bis jetzt als untere Schranken
$2k$ bzw [mm] $2a_1$ [/mm] gefunden und auch bewiesen.
Diese sind aber nur in Spezialfällen wirklich "gut"

        
Bezug
Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Fr 02.01.2015
Autor: abakus


Hallo,
möglicherweise (ich habe es nicht nachgeprüft) ist die Differenz besonders klein, wenn die beteiligten Zahlen aufeinander folgende Zahlen sind. Dann wäre das erste Produkt [mm]\frac{(k+1)!}{2}[/mm] und das zweite wäre k!.

Bezug
                
Bezug
Minimum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:21 Fr 02.01.2015
Autor: Nrjunkie

das mag schon sein, aber dann ist die Differenz [mm] $\frac{k-1}{2}$ [/mm] und das ist bei weitem kleiner als die von mir bereits gefundene untere Schranke $2k$

Bezug
                        
Bezug
Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Fr 02.01.2015
Autor: Nrjunkie

Gesetzt den Fall, du hast mit deiner Vermutung recht, (hintereinanderfolg zahlen ergeben minimale Differenz)
dann wäre das Minimum
[mm] $\frac{(a_1+k-1)!}{(a_1-1)!}-\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-2)!}= k\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-1)!} \ge k\frac{(k+1)!}{2}$ [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:45 Fr 02.01.2015
Autor: abakus


> Gesetzt den Fall, du hast mit deiner Vermutung recht,
> (hintereinanderfolg zahlen ergeben minimale Differenz)
> dann wäre das Minimum
> [mm]\frac{(a_1+k-1)!}{(a_1-1)!}-\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-2)!}= k\frac{(a_1+k-2)!}{(a_1-1)!} \ge k\frac{(k+1)!}{2}[/mm]

Hallo,
ich bin mir nicht sicher, wie "untere Schranke" zu verstehen ist.
Geht es nun darum, zu irgendwelchen vorgegebenen Zahlen [mm] $a_i$ [/mm] die untere Schranke zu finden, oder geht es sogar darum, eine untere Schranke für eben die Anodnung mit der kleinstmöglichen Differenz der Produkte zu finden?

Bezug
                                        
Bezug
Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Fr 02.01.2015
Autor: Nrjunkie

Es geht darum eine untere Schranke zu finden, die für alle möglichen Werte von [mm] $a_i$ [/mm] gültig ist - entweder in Abhängigkeit von der Anzahl $k$ oder des max und min der [mm] $a_i$ [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Minimum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 18.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Minimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Fr 02.01.2015
Autor: felixf

Moin!

> Seien [mm]2
>  Bestimme eine möglichst gute untere Schranke von
> [mm]\prod_{i=1}^{k}a_i - \prod_{i=1}^{k}(a_i-1)[/mm]
>  
> ich habe bis jetzt als untere Schranken
> [mm]2k[/mm] bzw [mm]2a_1[/mm] gefunden und auch bewiesen.
>  Diese sind aber nur in Spezialfällen wirklich "gut"

Vielleicht hiflt es, wenn du ein paar mehr Terme einfügst. Mal als konkretes Beispiel mit drei Variablen ohne Indices:

$a b c - (a-1)(b-1)(c-1) = a b c - (a-1) b c + (a-1) b c - (a-1) (b-1) c + (a-1) (b-1) c - (a-1) (b-1) (c-1) = b c + (a - 1) c + (a - 1) (b - 1)$

Genauso kannst du es als $a b + a (c - 1) + (b - 1) (c - 1)$ schreiben; wenn du nun $a < b < c$ hast, so hast du insb. $c - 1 [mm] \ge [/mm] b$ und $b - 1 [mm] \ge [/mm] a$, also $a b + a (c - 1) + (b - 1) (c - 1) [mm] \ge [/mm] a b + a b + a b = 3 a b$. Das ist schonmal eine viel bessere Schranke als $2 a$ oder $6$ (wie du sie oben hast).

Allgemeiner (nach dem gleichen Prinzip) kannst du vermutlich $k [mm] a_1 \cdots a_{k-1}$ [/mm] als untere Schranke bekommen, wenn ich mich nicht vertan hab.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Minimum: Danke - hier nun ein Beweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Fr 02.01.2015
Autor: Nrjunkie

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Den Beweis deiner Vermutung habe ich nun folgendermaßen gemacht.
Aufgrund der Weierstrassschen Produktungleichung ist

$\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{a_i}) \le 1-\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}$ und durch die monotonie der $a_i$

$\le 1-\frac{k}{a_k}$

Woraus durch Umformung Deine Vermutung folgt.
Danke für den Hinweis.

Bezug
                        
Bezug
Minimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 Fr 02.01.2015
Autor: felixf

Moin!

> Den Beweis deiner Vermutung habe ich nun folgendermaßen
> gemacht.
> Aufgrund der Weierstrassschen Produktungleichung ist
>  
> [mm]\prod_{i=1}^{k}(1-\frac{1}{a_i}) \le 1-\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}[/mm]
> und durch die monotonie der [mm]a_i[/mm]
>  
> [mm]\le 1-\frac{k}{a_k}[/mm]
>
> Woraus durch Umformung Deine Vermutung folgt.

Das ist schon gleich ein ganzes Stück eleganter! (Und jetzt kenne ich die []Ungleichung auch.)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]