Minimum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{m}\in \IR^{n} [/mm] und sei
f: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\summe_{i=1}^{m}||x-v_{i}||^{2}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f ein Minimum in [mm] \xi:=\bruch{1}{m}*\summe_{i=1}^{m}v_{i} [/mm] besitzt. |
In der Vorlesung hatten wir noch nichts von wegen Extrema von solchen mehrdimensionalen Funktionen. Geschweige denn hatten wir die zweite Ableitung Ich hab nur nachgelesen, dass die Funktion an der Stelle [mm] \xi [/mm] minimal ist, wenn [mm] f'(\xi)=0 [/mm] und [mm] f''(\xi) [/mm] positiv definit ist (was auch immer das genau heißen mag...; ich muss gestehen, dass ich das nicht so ganz verstanden habe).
Allerdings frage ich mich, ob man das wirklich verwenden muss, wenn wir es immerhin noch nicht in der VL hatten.
Ich wüsste übrigens auch nicht, wie ich die Ableitungen berechnen sollte, da in keinem Wort erwähnt wird, um was für eine Norm es sich handelt...
Muss ich oder darf ich annehmen, dass es die euklidische ist?
Gibt es denn auch eine andere Möglichkeit, das zu zeigen? Oder werden wir einmal mehr vor eine "unlösbare" Aufgabe gestellt?
Die Aussage ist für m=1 ja trivial. Von daher könnte man denken, dass Induktion irgendwie zum Ziel führt. Allerdings habe ich nicht einen blassen Schimmer, wie ich da die Induktionsvoraussetzung verwenden sollte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Sa 29.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
nimm als Norm mal die euklidische Norm und die Definition [mm] \parallel x-v_i \parallel^2=(x-v_i)^T(x-v_i). [/mm] Dann multiplizierst Du das aus und setzt es in die Summe ein und differenzierst partiell nach [mm] x_j [/mm] für j=1, .. ,n.
Die Partiellenableitungen setzt Du gleich Null, also [mm] \bruch{\partial f(x) }{\partial x_j }=0, [/mm] und rechnest [mm] x_j [/mm] aus.
Danach bleibt noch zu zeigen das das Ergebnis auch wirklich ein Minimum ist.
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> Hi,
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> nimm als Norm mal die euklidische Norm und die Definition
> [mm]\parallel x-v_i \parallel^2=(x-v_i)^T(x-v_i).[/mm] Dann
> multiplizierst Du das aus und setzt es in die Summe ein und
> differenzierst partiell nach [mm]x_j[/mm] für j=1, .. ,n.
>
> Die Partiellenableitungen setzt Du gleich Null, also
> [mm]\bruch{\partial f(x) }{\partial x_j }=0,[/mm] und rechnest [mm]x_j[/mm]
> aus.
Okay, soweit hab ichs...
> Danach bleibt noch zu zeigen das das Ergebnis auch wirklich
> ein Minimum ist.
>
Aber wie mache ich das? Es könnte ja auch ein Maximum oder ein Sattelpunkt sein (aber hoffentlich zumindest eines dieser Dinge...)
Kann ich das irgendwie durch einen Widerspruch aussschließen???
Oder kann ich irgendwie ein bisschen an [mm] \xi [/mm] "rütteln"?
Also [mm] f(\xi+\Delta [/mm] x) betrachten und zeigen, dass das auf jeden Fall für [mm] \Delta x\not=0 [/mm] größer ist???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 So 30.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
jetzt musst Du die Matrix der zweiten Ableitungen [mm] \bruch{\partial f(x)}{\partial x_i\partial x_j} [/mm] bilden und die Matrix auf positive Semidefinitheit prüfen.
Poste doch mal Deine Ergebnisse.
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> Hi,
> jetzt musst Du die Matrix der zweiten Ableitungen
> [mm]\bruch{\partial f(x)}{\partial x_i\partial x_j}[/mm] bilden und
> die Matrix auf positive Semidefinitheit prüfen.
>
> Poste doch mal Deine Ergebnisse.
>
Ach, die zweite Ableitung hat alle zweiten Ableitungen als Einträge? Ich dachte, dass wären nur [mm] \bruch{\partial^{2}}{\partial j ^{2}}f...
[/mm]
Aber wenn das so ist, müsste das doch das doppelte der Einheitsmatrix sein (wenn ich das denn richtig verstehe...) und die ist auf jeden Fall positiv definit, da sie als EW nur 2>0 hat.
Damit wärs ein Minimum.
Aber gehts nicht anders? Ich kann mir wirklich nicht vorstellen, dass wir das so machen sollen, denn wir hatten's immerhin noch nicht und eigentlich meinte unser Prof, dass wir alles gemacht hätten, um diesen Aufgabenzettel zu lösen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 So 30.05.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
also für das finden von Extremwerten im Mehrdimensionalen, und den Fall haben wir ja, ist das die Methode, mit der man Minima und Maxima bestimmt und überprüft.
Da Du ja schon weisst, wann eine Matrix positiv definit ist, wenn alle Eigenwerte >0 sind, habt Ihr das ja schon in der Vorlesung gehabt. Diese Methode ist als Erweiterung zum eindimensionalen Fall zu sehen und die Ähnlichkeiten kann man ja auch erkennen.
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