Minimum bestimmen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Eine quadratförmige nach oben offene Kiste mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge a und der Höhe h hat ein Volumen von V=32. Die oberflache der kiste beträgt [mm] o=a^{2}+4ah. [/mm] wie sind a und ha zu wählen, damit die koste eine minimal oberfläche bekommt. |
Ich komm nicht weiter. hab folgendes.
[mm] V=32=a^{2}*h
[/mm]
O= [mm] a^{2}+4*a*h
[/mm]
[mm] a^{2}=\bruch{32}{h}
[/mm]
F(h)=a*a+4*a*h
[mm] F(h)=\bruch{32}{h}+4*\wurzel{\bruch{32}{h}}*h
[/mm]
und jetzt bin ich raus, da komm ich nichtmehr weiter
ableitung bilden, aber wie
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Guten Abend,
[mm]V(a,h)=32=a^{2}*h\Rightarrow \blue{h=\bruch{32}{a^2}}[/mm]
[mm]O(a,h)=a^{2}+4*a*h[/mm]
Zielfunktion ist richtig
[mm]F(a,h)=a^2+4*a*h\rightarrow \min[/mm], also
[mm]F(a)=a^2+4*a*\frac{32}{a^2}=a^2+4*\frac{32}{a}=a^2+\frac{128}{a}[/mm]
[mm]F'(a)=\ldots[/mm]
Das ist wesentlich einfacher zu differenzieren.
Dein Weg geht auch!
[mm] F(h)=\bruch{32}{h}+4\cdot{}\wurzel{\bruch{32}{h}}\cdot{}h [/mm]
[mm]F(h)=\frac{32}{h}+4*\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{h}}*\sqrt{h}*\sqrt{h}[/mm]
[mm]F(h)=\frac{32}{h}+4*\sqrt{32}*\sqrt{h}=\frac{32}{h}+4*\sqrt{32h}[/mm]
[mm]F'(h)=\frac{-32}{h^2}+\frac{64}{\sqrt{(32*h)}}[/mm]
> und jetzt bin ich raus, da komm ich nichtmehr weiter
* Null setzen
* h bestimmen (eventuelle negative Höhe durchstreichen)
* a in Abhängigkeit von h berechnen.
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kurze frage noch..ich stell mich gerade einwenig dumm an was ist 128/a abgeleitet?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 So 12.09.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
schreibe [mm] \bruch{128}{a} [/mm] = 128 * [mm] a^{-1} [/mm] und du kannst wie gewohnt ableiten.
Gruß Sierra
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 So 12.09.2010 | | Autor: | haxenpeter |
habs schon qotientenregel [mm] -128/x^2
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 12.09.2010 | | Autor: | Sierra |
so geht es natürlich auch ;)
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nochal kurrz zur aufgabe:
die lösung wäre dann:
[mm] f'(a)=2a-(128/a^{2})=0
[/mm]
dan ganze mal [mm] a^2
[/mm]
[mm] 2a*a^{2}-128=0
[/mm]
[mm] a^{3}=64
[/mm]
3te wurzel von 64 = 4
a=4
einsetzen in eine der oberen gleichungen ergibt
das h = 2 ist
das ergebnis ist richtig, da wenn man a 2 wählt und h 8 würde O größer werden
ist richtig so oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 23.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> nochal kurrz zur aufgabe:
>
> die lösung wäre dann:
>
> [mm]f'(a)=2a-(128/a^{2})=0[/mm]
>
> dan ganze mal [mm]a^2[/mm]
>
> [mm]2a*a^{2}-128=0[/mm]
>
> [mm]a^{3}=64[/mm]
>
> 3te wurzel von 64 = 4
>
> a=4
>
> einsetzen in eine der oberen gleichungen ergibt
>
> das h = 2 ist
Bis hierher Okay
>
> das ergebnis ist richtig, da wenn man a 2 wählt und h 8
> würde O größer werden
Das macht so keinen Sinn. Du hast a ja gerasde so bestimmt. Zeige besser mit der zweiten Ableitung, also mit f''(4)>0, dass a=4 ein Minimum ist. Und bestimme noch den konkreten Zahlenwert der Oberfläche für a=4.
>
> ist richtig so oder?
Marius
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also so:
[mm] f''(a)=2+(256/a^{3})
[/mm]
f''(4)=6 6>0 -> minimum
und natürlich noch O dazu berechen
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Hallo haxenpeter,
> also so:
>
> [mm]f''(a)=2+(256/a^{3})[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f''(4)=6 6>0 -> minimum
>
> und natürlich noch O dazu berechen
Gruß
schachuzipus
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