Minimum des Erwartungswertes < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mo 26.05.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Es seien X,Y : [mm] \Omega \to \IR [/mm] Zufallsvariablen mit [mm] X^2, Y^2 \in L^1(\Omega,P).
[/mm]
Für welche reellen Zahlen [mm] \alpha, \beta [/mm] ist [mm] E((Y-\alpha [/mm] X - [mm] \beta)^2) [/mm] minimal? Bestimmen Sie dieses Minimum. |
Hallo!
Ich habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe...
Mein erster Ansatz war, dass man die Formel V(X) = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(X)^2 [/mm] ausnutzt. Diese habe ich umgestellt zu:
[mm] E(X^2) [/mm] = V(X) + [mm] E(X)^2
[/mm]
Meine Idee war, dieses auf meine Aufgabe wie folgt anzuwenden:
[mm] E((Y-\alpha [/mm] X - [mm] \beta)^2) [/mm] = [mm] V(Y-\alpha [/mm] X - [mm] \beta) [/mm] + [mm] E(Y-\alpha [/mm] X - [mm] \beta)^2
[/mm]
Danach habe ich weitergerechnet, indem ich alles linear auseinandergezogen habe... aber irgendwie wurde alles nur noch komplizierter :(
Bin ich auf der richtigen Spur oder muss man diese Aufgabe völlig anders angehen?
Über ein paar Ratschläge würde ich mich sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem andren Internetforum gestellt.
Gruß, cauchy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Mo 26.05.2008 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
nur eine Idee als Alternative zur Anwendung des Verschiebesatzes. Einfach E bestimmen und das Minimum der entstandenen Funktion berechnen (also Ableitung bilden etc.).
Vielleicht bringt das ja etwas.
Grüße, Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Vreni |
Hallo cauchy,
deine erste Umformung war schon ein Schritt in die richtige Richtung. Jetzt schreibst du, dass du alles linear auseinander gezogen hast. Dir ist klar, dass das bei der Varianz nicht so einfach möglich ist? [mm] (Var(X)=E((X-EX)^2)!
[/mm]
Dafür kannst du eine andere Eigenschaft der Varianz ausnutzen: [mm] Var(Y-\alpha*X-\beta)=Var(Y-\alpha*X).
[/mm]
D.h. dein erster Term hängt nur noch von [mm] \alpha [/mm] ab. Wenn du also das [mm] \alpha_{opt} [/mm] gefunden hast, für das der erste Term minimal ist, kannst du aus dem zweiten Term, [mm] (E(Y-\alpha_{opt}*X-\beta))^2, \beta_{opt} [/mm] so bestimmen, dass der zweite Term=0 wird.
Um das [mm] \alpha_{opt} [/mm] zu finden, forme am besten den ersten Term noch etwas um [mm] (Var(X)=E((X-EX)^2, [/mm] Rechenregeln für den Erwartungswert!), und leite ihn dann nach [mm] \alpha [/mm] ab.
Gruß,
Vreni
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