Minimum oder Maximum ? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Tanya |
Hallo zusammen.
Wir sollen die Funktion f(x)=(x²+1)*cos(kx) an der Stelle 0 auf Extremwerte untersuchen. Die Amplitudenfunktion x²+1 zieht sie nach oben, die cos-Funktion nach unten. Wer gewinnt? Wenn k groß ist, ist die Frequenz hoch, die cos-Funktion geht schnell nach unten, es liegt ein Maximum vor. Wenn k klein ist, ist die cos-Funktion weit gestreckt, es liegt ein Minimum vor. Die Grenze ist bei [mm] \wurzel{2}. [/mm] Welcher Fall liegt aber genau dann vor ?
Vielen Dank für jede Hilfe. Tanya
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 11.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tanya!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Wir sollen die Funktion f(x)=(x²+1)*cos(kx) an der Stelle
> 0 auf Extremwerte untersuchen. Die Amplitudenfunktion x²+1
> zieht sie nach oben, die cos-Funktion nach unten. Wer
> gewinnt? Wenn k groß ist, ist die Frequenz hoch, die
> cos-Funktion geht schnell nach unten, es liegt ein Maximum
> vor. Wenn k klein ist, ist die cos-Funktion weit gestreckt,
> es liegt ein Minimum vor. Die Grenze ist bei [mm]\wurzel{2}.[/mm]
> Welcher Fall liegt aber genau dann vor ?
Du hast doch sicher die ersten paar Ableitungen der Funktion an der Stelle $x=0$ berechnet:
[mm] f'(0) = 0 [/mm]
[mm] f''(0) = 2-k^2 [/mm]
[mm] f'''(0) = 0 [/mm]
[mm] f^{(4)} (0 ) = k^2 (k^2-12) [/mm]
Wie bestimmst du Die Eigenschaften, wenn die ersten 3 Ableitungen 0 sind? Da gibt es eine allgemeine Regel.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Tanya |
> Hallo Tanya!
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> Erstmal herzlich
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> > Wir sollen die Funktion f(x)=(x²+1)*cos(kx) an der Stelle
> > 0 auf Extremwerte untersuchen. Die Amplitudenfunktion x²+1
> > zieht sie nach oben, die cos-Funktion nach unten. Wer
> > gewinnt? Wenn k groß ist, ist die Frequenz hoch, die
> > cos-Funktion geht schnell nach unten, es liegt ein Maximum
> > vor. Wenn k klein ist, ist die cos-Funktion weit gestreckt,
> > es liegt ein Minimum vor. Die Grenze ist bei [mm]\wurzel{2}.[/mm]
> > Welcher Fall liegt aber genau dann vor ?
>
> Du hast doch sicher die ersten paar Ableitungen der
> Funktion an der Stelle [mm]x=0[/mm] berechnet:
>
> [mm]f'(0) = 0[/mm]
>
> [mm]f''(0) = 2-k^2[/mm]
>
> [mm]f'''(0) = 0[/mm]
>
> [mm]f^{(4)} (0 ) = k^2 (k^2-12)[/mm]
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> Wie bestimmst du Die Eigenschaften, wenn die ersten 3
> Ableitungen 0 sind? Da gibt es eine allgemeine Regel.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
Danke, Rainer für deine schnelle Antwort.
Die Regel kenne ich nicht. Ich kenne nur das Kriterium mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung, aber die ist ja 0.
Geht es auch ohne die Regel? Tanya
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Hallo, Rainer hat ja schon die Ableitungen berechnet,
[mm] f''(0)=2-k^{2}
[/mm]
für [mm] k=\wurzel{2} [/mm] wird also [mm] f''(0)=2-(\wurzel{2})^{2}=0
[/mm]
eine Entscheidung ist somit nicht möglich, Minimum oder Maximum, jetzt ist
[mm] f^{(4)}(\wurzel{2})=-20, [/mm] jetzt sollte die Entscheidung klar sein, was für [mm] k=\wurzel{2} [/mm] an der Stelle x=0 vorliegt
ein Beispiel für eine Funktion, an der es leichter zu erkennen ist [mm] f(x)=x^{4}
[/mm]
f'(0)=0
f''(0)=0
f'''(0)=0
[mm] f^{(4)}(0)=24 [/mm] somit ein relatives Minimum
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Tanya |
Danke ihr beiden.
Ich muss also immer weiter ableiten bis mal eine Ableitung nicht 0 ist und dann das Vorzeichenkriterium anwenden. Richtig? Tanya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 11.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tanya!
> Danke ihr beiden.
> Ich muss also immer weiter ableiten bis mal eine Ableitung
> nicht 0 ist und dann das Vorzeichenkriterium anwenden.
Nein, nicht ganz. Eine geradezahlige (2., 4., 6., ...) Ableitung muss [mm] $\not=0$ [/mm] sein, und auf die wendest du das Vorzeichenkriterium an. Wenn die erste Ableitung [mm] \not=0 [/mm] eine ungeradzahlige ist (3., 5., ...), dann ist es kein Extremum, sondern ein Wendepunkt. Als Beispiel kannst du die Funktionen [mm] $f(x)=x^n$, $n\in\IN$ [/mm] hernehmen. Für geradezahlige n hat so eine Funktion bei $x=0$ ein Minimum, für ungeradzahlige n einen Wendepunkt.
Viele Grüße
Rainer
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