Minimumsfindung bei n Vars < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 22.09.2011 | | Autor: | Therion |
| Aufgabe | Finde [mm] x_1...x_n [/mm] > 0, sodass für die Konstanten [mm] K_1...K_n [/mm] > 0 der Ausdruck
[mm] (x_1+x_2...+x_n)*(\frac{1}{x_1}*K_1+\frac{1}{x_2}*K_2+...+\frac{1}{x_n}*K_n) [/mm] minimal wird. |
Hallo allerseits :)
Meine Vermutung ist, dass das Minimum
[mm] (\sqrt{K_1}+\sqrt{K_2}+....+\sqrt{K_n})*(\sqrt{K_1}+\sqrt{K_2}+....+\sqrt{K_n}) [/mm] ist, da für [mm] x_i=\sqrt{K_i} [/mm] der Gradient=0 wird.
Nun sollte ich aber wohl auch noch beweisen, dass es sich um das globale Minimum handelt.
Im 2- und 3-Dimensionalen glaube ich zeigen zu können, dass alle potentiellen lokalen Minima auf einer Kurve liegen, die alle den selben Wert haben, wodurch es sich um ein globales Minimum handeln sollte.
Leider bringt mich dies nicht weiter, da ich es für beliebiges n zeigen soll. Über eine vollständige Induktion habe ich nachgedacht, es aber nicht geschafft. Ich hoffte auch damit Erfolg zu haben, dass ich entlang der vermuteten 'Kurve' von Minima schneide um somit nur noch 1 Minimum zu haben (das damit auch das globale wäre). Um das zu bewerkstelligen habe ich eine Koordinatentrasnformation versucht. Wenn man im Fall von n=2 Polarkoordinaten anwendet, sieht man, dass es unabhängig von r(Radius) ist und man somit nur noch über phi(Winkel) suchen muss. Auch dies hab ich versucht auf beliebiges n zu erweitern (probiert mit n-Dim Kugelkoordinaten) jedoch auch das ohne Erfolg. Diese und noch andere Ansätze gingen leider so weit ins Leere und langsam werde ich ratlos. Hat vielleicht jemand einen Tipp, der mich einer Lösung näher bringen könnte? Vielen, vielen Dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Fr 23.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Setze
[mm] x:=(\wurzel{K_1/x_1}, [/mm] ...., [mm] \wurzel{K_n/x_n}) [/mm] und y:= [mm] (\wurzel{x_1},...,\wurzel{x_n}),
[/mm]
also x,y [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Bez. man mit [mm] $||*||_2$ [/mm] die eukl. Norm auf [mm] \IR^2 [/mm] und mit <*,*> das übl. Skalarprodukt, so gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungl.:
(*) $<x,y>^2 [mm] \le ||x||^2*||y||^2$
[/mm]
Die rechte Seite von (*) = $ [mm] (x_1+x_2...+x_n)\cdot{}(\frac{1}{x_1}\cdot{}K_1+\frac{1}{x_2}\cdot{}K_2+...+\frac{1}{x_n}\cdot{}K_n) [/mm] $
und die linke Seite von (*) = $ [mm] (\sqrt{K_1}+\sqrt{K_2}+....+\sqrt{K_n})\cdot{}(\sqrt{K_1}+\sqrt{K_2}+....+\sqrt{K_n}) [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 23.09.2011 | | Autor: | Therion |
Vielen, vielen Dank für diese saubere und elegante Lösung. In die Richtung hatte ich jetzt leider gar nicht gedacht.
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