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Minkowskische Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mi 22.03.2017
Autor: X3nion

Guten Tag zusammen! :-)

Ich verstehe den Beweis zum Satz der Minkowskischen Ungleichung aus dem Forster nicht so ganz.

Der Satz lautet wie folgt: Sei p [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty[. [/mm] Dann gilt für alle x,y [mm] \in \IC^{n} [/mm]

[mm] ||x+y||_{p} \le ||x||_{p} [/mm] + [mm] ||y||_{q}. [/mm]

Beweis: Für p = 1 folgt der Satz direkt aus der Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen. Sei nun p > 1 und q definiert durch [mm] \frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} [/mm] = 1. Es sei z [mm] \in \IC^{n} [/mm] der Vektor mit den Komponenten

[mm] z_{v}:= |x_{v} [/mm] + [mm] y_{v}|^{p-1}, [/mm] v = 1,...,n.

Dann ist [mm] z_{v}^{q} [/mm] = [mm] |x_{v} [/mm] + [mm] y_{v}|^{q(p-1)} [/mm] = [mm] |x_v [/mm] + [mm] y_v|^{p}, [/mm] also

[mm] ||z||_{q} [/mm] = [mm] ||x+y||_{q}^{\frac{p}{q}} [/mm]

Nach der Hölderschen Ungleichung gilt

[mm] \summe_{v} |x_v [/mm] + [mm] y_v|*|z_v| \le \summe_{v} |x_v z_v| [/mm] + [mm] \summe_{v} |y_v z_v| \le (||x||_p [/mm] + [mm] ||y||_p) ||z||_q, [/mm]

also nach Definition von z

[mm] ||x+y||_{p}^{p} \le (||x||_p [/mm] + [mm] ||x||_p) ||x+y||_{p}^{\frac{p}{q}} [/mm]

Da p - [mm] \frac{p}{q} [/mm] = 1, folgt daraus die Behauptung.

---


- Nun ist [mm] z_{v}^{q} [/mm] = [mm] |x_{v} [/mm] + [mm] y_{v}|^{q(p-1)} [/mm] = [mm] |x_v [/mm] + [mm] y_v|^{p} [/mm] wegen p = qp - q (was aus [mm] \frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} [/mm] = 1 folgt)

- Ferner ist [mm] ||z||_{q} [/mm] = [mm] ||x+y||_{q}^{\frac{p}{q}} [/mm] wegen

[mm] ||z||_{q} [/mm] = [mm] (\summe_{v=1}^{n} |z_{v}^{q}|)^{\frac{1}{q}} [/mm] = [mm] (\summe_{v=1}^{n} |x_v [/mm] + [mm] y_v|^{p})^{\frac{1}{q}} [/mm] =
[mm] [(\summe_{v=1}^{n}|x_v [/mm] + [mm] y_v|^{p})^{\frac{1}{p}}]^{\frac{p}{q}} [/mm] = [mm] ||x+y||_{p}^{\frac{p}{q}}. [/mm]

- Was mir auch klar ist, ist dass [mm] \summe_{v} |x_v z_v| [/mm] + [mm] \summe_{v} |y_v z_v| \le (||x||_p [/mm] + [mm] ||y||_p) ||z||_q [/mm]

wegen der Hölder'schen Ungleichung: [mm] \summe_{v} |x_v z_v| \le ||x||_p ||z||_q [/mm] und [mm] \summe_{v} |y_v z_v| \le ||y||_p ||z||_q [/mm]


=>
- Nun verstehe ich zum einen nicht, wieso [mm] \summe_{v} |x_v [/mm] + [mm] y_v|*|z_v| \le \summe_{v} |x_v z_v| [/mm] + [mm] \summe_{v} |y_v z_v| [/mm] ist, also welcher Satz für Ungleichungen hier benutzt wurde.

- Zum anderen verstehe ich nicht, wieso wegen p - [mm] \frac{p}{q} [/mm] = 1 schlussendlich die Behauptung folgt.


Ich wäre für eure Tipps wie immer sehr dankbar!

Viele Grüße,
X3nion


        
Bezug
Minkowskische Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 22.03.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> =>
> - Nun verstehe ich zum einen nicht, wieso [mm]\summe_{v} |x_v[/mm] +
> [mm]y_v|*|z_v| \le \summe_{v} |x_v z_v|[/mm] + [mm]\summe_{v} |y_v z_v|[/mm]  ist, also welcher Satz für Ungleichungen hier benutzt
> wurde.

amüsant: Das offensichtlichste von allen, verstehst du nicht. Du wirst dir gleich mit der Hand gegen den Kopf klatschen.

Es ist doch mit der simplen Dreiecksungleichung: [mm] $|x_v [/mm] + [mm] y_v|\cdot |z_v| [/mm] = [mm] |(x_v [/mm] + [mm] y_v)z_v| [/mm] = [mm] |x_vz_v [/mm] + [mm] y_vz_v| \le |x_vz_v| [/mm] + [mm] |y_vz_v|$ [/mm]


> - Zum anderen verstehe ich nicht, wieso wegen p -
> [mm]\frac{p}{q}[/mm] = 1 schlussendlich die Behauptung folgt.

Na weil deswegen [mm] $\frac{p}{q} [/mm] = p-1$ ist und wenn du das in Exponenten auf der rechten Seite einsetzt und dann auf beiden Seiten durch $ [mm] ||x+y||_{p}^{p-1}$ [/mm] dividierst, das Gewünschte da steht.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Minkowskische Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:19 Mi 22.03.2017
Autor: X3nion


> Hiho,

Hi Gono und Dankeschön!

>  amüsant: Das offensichtlichste von allen, verstehst du
> nicht. Du wirst dir gleich mit der Hand gegen den Kopf
> klatschen.


> Es ist doch mit der simplen Dreiecksungleichung: [mm]|x_v + y_v|\cdot |z_v| = |(x_v + y_v)z_v| = |x_vz_v + y_vz_v| \le |x_vz_v| + |y_vz_v|[/mm]

Oh man, nicht mit der Hand sondern mit dem Hammer [bonk] [happy]
manchmal ist man echt blind für manche Sachen..

> > - Zum anderen verstehe ich nicht, wieso wegen p -
> > [mm]\frac{p}{q}[/mm] = 1 schlussendlich die Behauptung folgt.
>  
> Na weil deswegen [mm]\frac{p}{q} = p-1[/mm] ist und wenn du das in
> Exponenten auf der rechten Seite einsetzt und dann auf
> beiden Seiten durch [mm]||x+y||_{p}^{p-1}[/mm] dividierst, das
> Gewünschte da steht.
>  
> Gruß,
>  Gono

Viele Grüße,
X3nion


Bezug
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