matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenMinorantenkriterium
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Minorantenkriterium
Minorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Minorantenkriterium: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:21 Mo 01.05.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Entscheide, ob die folgende Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1} [/mm]



hallo,
meine Abschätzung sieht wie folgt aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}\ge\bruch{n^{2}}{5n^{2}}\ge\bruch{n}{5n^{2}}=\bruch{1}{5n} [/mm] und das divergiert ja bekannterweise.  

Ich habe jetzt diese Fragen:

1) Ist meine Abschätzung richtig?
2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe konvergent ist. Woher weiss ich den welches Kriterium ich anwenden soll bzw. was sind Indizen?
3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?

        
Bezug
Minorantenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:37 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion

Hallo Austinn,

> Entscheide, ob die folgende Reihe konvergiert, absolut
> konvergiert oder divergiert.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}[/mm]
>  
>
> hallo,
>  meine Abschätzung sieht wie folgt aus:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}\ge\bruch{n^{2}}{5n^{2}}\ge\bruch{n}{5n^{2}}=\bruch{1}{5n}[/mm]
> und das divergiert ja bekannterweise.  

Das geht auch, du kannst es aber einfacher machen und nicht bis [mm] \bruch{1}{5n} [/mm] abschätzen, sondern eine Stufe vorher:

[mm] \bruch{n^{2}}{5n^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}. [/mm]

Setze [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} + 7}{5n^{2} + 1} [/mm]

Dann gilt: [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2} + 7}{5n^{2} + 1} \ge \frac{n^{2} + 7}{5n^{2}} \ge \frac{n^{2}}{5n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{5} [/mm] := [mm] b_{n} [/mm]

Folglich gilt [mm] a_{n} \ge b_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]

Bilde nun die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} [/mm]

Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5} [/mm] divergiert offensichtlich.

Es ergibt sich die Abschätzung:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1} \ge \summe_{n=0}^{\infty} \frac{1}{5}. [/mm]

Folglich divergiert die Reihe

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}+7}{5n^{2}+1}. [/mm]


>  2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe
> divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe
> konvergent ist. Woher weiss ich den welches Kriterium ich
> anwenden soll bzw. was sind Indizen?

Wenn du entsprechende Vergleichsreihen findest, dann ja.
In der Regel war deine Vorgehensweise genau richtig, Abschätzungen für die Folgen, auf denen die Reihen basieren, zu machen.
Dann hast du ja gesehen, worauf es hinausläuft - in dem Fall auf die divergente harmonische Reihe.

>  3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?

Eine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] heißt absolut konvergent, falls [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}|, [/mm] also die Reihe der Beträge [mm] |a_{n}|, [/mm] konvergiert.

Das Majorantenkriterium liefert zum Beispiel, wenn es zutrifft, eine Aussage über absolute Konvergenz, genauso wie das Quotienten- und Wurzelkriterium.



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
        
Bezug
Minorantenkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Mo 01.05.2017
Autor: fred97

Was die vorgelegte Reihe  betrifft :  sie divergiert,  denn die Folge der  Reihenglieder ist keine Nullfolge

Bezug
                
Bezug
Minorantenkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Mo 01.05.2017
Autor: X3nion


> Was die vorgelegte Reihe  betrifft :  sie divergiert,  denn
> die Folge der  Reihenglieder ist keine Nullfolge  


Da hast du Recht, klar!
Viel einfacher argumentiert als ich :-)


Gruß X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]