Minorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 So 02.09.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{4}-2k} [/mm] bestimmt divergent ist. |
Hallo zusammen, ich hätte ein paar Fragen zu obiger Aufgabe:
1) Mit welchen Kriterien würde sich die Divergenz bestätigen lassen? Meine Definitionen gehen nur von Summen, beginnend bei n=1 aus, inwieweit kann man dieses in diesem Fall anwenden?
Ich würde die Aufgabe gerne mittels des Minorantenkriteriums lösen. Das ist aber auch für n=1 definiert, lässt sich dieses dann einfach trotzdem anwenden?
Danke!
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Hallo Ciotic,
das ist gar nicht so schwierig.
> Zeigen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{4}-2k}[/mm]
> bestimmt divergent ist.
> Hallo zusammen, ich hätte ein paar Fragen zu obiger
> Aufgabe:
>
> 1) Mit welchen Kriterien würde sich die Divergenz
> bestätigen lassen?
Das sagst Du doch schon selbst in der Überschrift dieser Anfrage: das Minorantenkriterium ist hier wunderbar geeignet.
> Meine Definitionen gehen nur von
> Summen, beginnend bei n=1 aus, inwieweit kann man dieses in
> diesem Fall anwenden?
Bei Folgen und Reihen interessiert doch eigentlich nur das Verhältnis "im Unendlichen". Die ersten 15 Milliarden Glieder kannst Du getrost wegstreichen, das Verhalten ändert sich dadurch nicht, wohl aber der Grenzwert, falls er denn existiert. 
Diese Reihe hier kannst Du auch nach vorne verlängern und bei n=1 beginnen lassen. Da passiert ja nichts Undefiniertes, nur ist das erste Glied der zu summierenden Folge negativ.
> Ich würde die Aufgabe gerne mittels des
> Minorantenkriteriums lösen. Das ist aber auch für n=1
> definiert, lässt sich dieses dann einfach trotzdem
> anwenden?
Ja, problemlos. Wie gesagt, hier einfach bei n=1 beginnen oder besser die Vergleichsreihe erst bei n=3. Die harmonische Reihe z.B. bleibt auch dann divergent, wenn Du bei 3 startest. Oder bei 2857. Oder...
Mach doch mal einen Versuch, und wenns nicht so recht klappt, melde Dich.
> Danke!
Viel Erfolg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 02.09.2012 | | Autor: | Ciotic |
Ok, dann würde ich so vorgehen:
$ [mm] \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{4}-2k}= \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{3}-2} \ge \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=3}^{\infty}a_{n} [/mm] ist divergent.
Wäre das so mathematisch korrekt?
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Hiho,
> Ok, dann würde ich so vorgehen:
>
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{4}-2k}= \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{3}-2} \ge \summe_{k=3}^{\infty}\bruch{1}{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=3}^{\infty}a_{n}[/mm] ist divergent.
>
> Wäre das so mathematisch korrekt?
Ja, wenn du deine (im Kern zwar offensichtliche) Ungleichung noch kurz erklärst, passt es.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 02.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}\bruch{k^{3}+2k^{2}}{k^{4}-2k}[/mm]
> bestimmt divergent ist.
allgemeiner Tipp zu Aufgaben dieser Art (nicht notwendig Übungsaufgaben,
vll. läuft Dir auch sonst im Leben mal eine Reihe über den Weg, die Du
auf Konvergenz/Divergenz untersuchen willst/musst):
Lies' etwa hier (klick me!) im P.S. das Kriterium nach. (Nach dem ersten P.S.).
Ich glaube, in Heuser, Ana I heißt er "Vergleichskriterium" und sollte so, [mm] $\pi$ [/mm] Mal Daumen, die Nummer 33.3 oder so tragen. Vll. war's auch 33.9.
Findest Du aber sicher auch alleine raus.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Di 04.09.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke Euch!
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