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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Mischungsaufgabe
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Mischungsaufgabe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Di 17.11.2020
Autor: Schobbi

Aufgabe
Ein Apotheker bietet ein Desinfektionsmittel in drei unterschiedlichen Wirkstoffkonzentrationen an:
10%ige, davon hat er 3 Liter
30%ige, ebenfalls 3 Liter Vorrat und
90%ige, von dieser hat er 6 Liter.
Ein Kunde bestellt eine Menge von 10 Litern Desinfektionsmittel mit einer Konzentration von 60%. Kann der Apotheker diese Menge in der gewünschten Konzentration durch Mischen aus seinen Vorräten herstellen?

Hallo zusammen, vielleicht kann mir jemand bei der obigen Aufgabe helfen einen geeigneten mathematischen Ansatz zu finden. Ich habe lediglich eine Lösung durch "ausprobieren" herausgefunden. Dazu habe ich folgendes Gleichungssystem aufgestellt, wobei x die Menge des 10%igen, y die Menge des 30%igen und z die Menge des 90%igen Mittels ist:

x + y + z = 10
0,1x + 0,3y + 0,9z = 0,6*10 = 6

weiterhin hab ich noch die Bedingungen, dass x und y kleiner gleich 3 und z kleiner gleich 6 sein müssen.

Ich hab dann einfach mal x=3 gesetzt und mit dem LGS
y + z = 7
0,3y + 0,9z = 5,7

y und z bestimmt.

Gibt es da noch einen anderen Ansatz ohne, dass ich einfach x=3 setze?
Vielen Dank für Euche Hilfe!


        
Bezug
Mischungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:24 Di 17.11.2020
Autor: chrisno

Hallo,

ich gehe davon aus, dass du an allen möglichen Lösungen interessiert bist.
Durch die gegebenen Mengen, musst du diese Einschränkungen berücksichtigen und außerdem hast du ja nur zwei Gleichungen aber drei Unbekannte.

Da hast du schon eine Grenze gefunden:
Wenn der ganze 10%ige Alkohol eingesetzt wird, dann können die 10 Liter zusammengemischt werden.
Das x = 3 hast du ja nicht ohne Grund genommen. Es hätte ja herauskommen können, dass es so nicht gelingt, weil die Verdünnung schon zu stark ist. (Nimm mal an, es wären 5 Liter 10%iger Alkohol vorhanden.)
Damit ist auch klar, dass mindestens 1 Liter des 30%igen Alkohols eingesetzt werden muss.

Dein Vorgehen ist gut und du kannst es fortführen.
Es wird mindestens 1 Liter des 10%igen Alkohols benötigt, sonst gibt es nicht in der Summe 10 Liter.
Dann allerdings reicht der 30%ige Alkohol nicht, um das Ergebnis genug runter zu verdünnen.
Also ist der nächste Schritt, zu schauen, was passiert, wenn 3 Liter des 30%igen Alkohols eingesetzt werden.
Nach meiner Rechnung gibt es eine Lösung und dann wäre das Ergebnis:
Für alle Werte zwischen 1 und 3 Liter des 30%igen Alkohols ist eine Lösung möglich.

Wenn Du nun noch mehr Details wissen willst, schlage ich Folgendes vor:
Nimm y als Parameter. Das heißt, y ist ein unbekannter aber erst einmal fester Wert.
Dann hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Variablen, x und z.
Das kannst du lösen. Zum Abschluss steht da: x = ... irgendwas mit y und z = irgnedwas mit y
Beides sind Geradengleichungen. An der Stelle könnte es hilfreich sein, die Variablen umzubennen,
sodass die Geradengleichungen y1 = ...x und y2 = ...x heißen. Diese beiden Gleichungen zeichnest du und dann kannst Du im Intervall [1:3] ablesen, wie viel vom 10%gen und vom 90%igen Alkohol du jeweils zu dem 30%igen zugeben musst.
Das geht nicht nur so für den 30%igen Alkohol, sondern auch für die beiden anderen. Probiers mal aus.




Bezug
        
Bezug
Mischungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:48 Do 19.11.2020
Autor: HJKweseleit

  
Mach so:

> x + y + z = 10
>  0,1x + 0,3y + 0,9z = 0,6*10 = 6    |*10

oder
x + 3y + 9z = 60
x +  y +  z = 10   | -

    2y + 8z = 50  [mm] \Rightarrow [/mm] y = 25 - 4z

In die erste Gl. einsetzen:   x + 25 - 4z + z = 10 [mm] \Rightarrow [/mm]  x = 3z - 15

Lösung: [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{-15 \\ 25 \\ 0} [/mm] + [mm] z*\vektor{3 \\ -4 \\ 1} [/mm]

Damit x positiv wird, muss z mindestens 5 sein. Dann wäre aber y= 5. Wegen y maximal 3 muss z mindestens 5,5 sein.
Für z=6 ist ebenfalls noch alles positiv.

Alle Werte für z zwischen 5,5 und 6 sind Lösungen.

Dein Ansatz x=3 klappt gerade noch für z=6 (und y=1).



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