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Mischungstemperatur: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Mi 17.11.2021
Autor: Qliphoth

Aufgabe
In einem Kalorimeter mit $ [mm] C_{Kal}=0,18 \; \bruch{kJ}{K} [/mm] $  befindet sich die Wasserflüssigkeitsmenge $ [mm] m_{W}=1\; [/mm] kg  $ mit einer Anfangstemperatur $ [mm] T_{1}=293,15 \; [/mm] K $ und einer konstanten spezifischen Wärmekapazität $ [mm] c_{W}=4,186 \; \bruch{kJ}{K} [/mm] $. Ein Stück Stahl der Masse $ [mm] m_{S}=0,1\; [/mm] kg $ und der konstanten spezifischen Wärmekapazität $ [mm] c_{S}=0,460 \; \bruch{kJ}{K} [/mm] $ wird mit einer Anfangstemperatur $ [mm] T_{2}=353,15 \; [/mm] K $ zum Zeitpunkt $ [mm] t_{0}=0\; [/mm] s $ vollständig in das Wasser getaucht. Während des Temperaturausgleiches zwischen Stahl und Wasser bis zur Mischungstemperatur $ [mm] T_{M} [/mm] $ wird die Temperatur des Stahls $ [mm] T_{S}(t) [/mm] $ mit Hilfe eines Thermoelementes gemessen, die Messwerte lassen sich durch den Zusammenhang
[mm] T_{S}(t)=T_{M}+(T_{2}-T_{M})\cdot e^{-\bruch{t-t_{0}}{K_{t}} [/mm] mit $ [mm] K_{t}=30 \; [/mm] s $ hinreichend genau beschreiben.

a) Leiten sie aus der Energiebilanzgleichung die Formel für die Mischungstemperatur
$ [mm] T_{M}=T_{1}+\bruch{(m_{S}\cdot c_{S})\cdot (T_{2}-T_{1})}{\cdots ? \cdots} [/mm] $
her.

b) Berechnen Sie die Mischungstemperatur nach vollständigem Temperaturausgleich.

c) Berechnen Sie die Zeit $ [mm] t_{1} [/mm] $, nach der der Stahl die Temperatur $ [mm] T_{S,1}=298,15 \; [/mm] K $ erreicht hat.

Hallo,

meine Frage zu der Aufgabe bezieht sich nur zum Aufgabenteil a). Wie kommt man bitte auf einen Ausdruck für diese Mischungstemperatur? Durch meinen Ansatz mittels Energiebilanz komme ich nicht mal annähernd auf einen ähnlichen Ausdruck, so dass ich natürlich nicht den Term passend ergänzen könnte.

Zeitgleich habe ich ehrlich gesagt auch ein bisschen das Problem mit der Aufgabenstellung. Im Text wird nicht über die Masse des Kalorimeters gesprochen, was wohl heißt, dass man sie vermutlich vernachlässigen kann. Ich habe das jetzt folgendermaßen interpretiert: Man misst das Gewicht des Wassers im Kalorimeter. Da glücklicherweise die Masse des Wasser $ [mm] 1\; [/mm] kg $ beträgt ist Annahme aus mathematischer Sicht sogar sinnvoll (bei vernachlässigter Masse vom Kalorimeter).

So, dann komme ich mal zu meinem Ansatz und vielleicht kann man mir dann einen Tipp geben was ich eventuell falsch mache, bzw. wie ich auf die entsprechende Formel kommen kann.

Ansatz: Energiebilanz

$ [mm] 0=Q_{Kal}+Q_{W}+Q_{S} [/mm] $

$ [mm] \gdw 0=m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})\cdot (T_{1}-T_{M})+m_{S}\cdot c_{S}\cdot (T_{2}-T_{M}) [/mm] $

$ [mm] \gdw 0=m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})\cdot T_{1}-m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})\cdot T_{M}+m_{S}\cdot c_{S}\cdot T_{2}-m_{S}\cdot c_{S}\cdot T_{M} [/mm] $

$ [mm] \gdw (m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})+m_{S}\cdot c_{S})\cdot T_{M}=m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})\cdot T_{1}+m_{S}\cdot c_{S}\cdot T_{2} [/mm] $

$ [mm] \gdw T_{M}=\bruch{m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})\cdot T_{1}+m_{S}\cdot c_{S}\cdot T_{2}}{m_{w}\cdot (C_{Kal}+c_{W})+m_{S}\cdot c_{S}} [/mm] $

Ich sehe keinen Fehler bei diesem Ansatz und wüsste ehrlich gesagt auch nicht, wie ich eine passende Transformation in die vorgegeben Form finden soll.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mischungstemperatur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 Mi 17.11.2021
Autor: HJKweseleit


> In einem Kalorimeter mit [mm]C_{Kal}=0,18 \; \bruch{kJ}{K}[/mm]  
> befindet sich die Wasserflüssigkeitsmenge [mm]m_{W}=1\; kg [/mm]
> mit einer Anfangstemperatur [mm]T_{1}=293,15 \; K[/mm] und einer
> konstanten spezifischen Wärmekapazität [mm]c_{W}=4,186 \; \bruch{kJ}{K} [/mm].
> Ein Stück Stahl der Masse [mm]m_{S}=0,1\; kg[/mm] und der
> konstanten spezifischen Wärmekapazität [mm]c_{S}=0,460 \; \bruch{kJ}{K}[/mm]
> wird mit einer Anfangstemperatur [mm]T_{2}=353,15 \; K[/mm] zum
> Zeitpunkt [mm]t_{0}=0\; s[/mm] vollständig in das Wasser getaucht.
> Während des Temperaturausgleiches zwischen Stahl und
> Wasser bis zur Mischungstemperatur [mm]T_{M}[/mm] wird die
> Temperatur des Stahls [mm]T_{S}(t)[/mm] mit Hilfe eines
> Thermoelementes gemessen, die Messwerte lassen sich durch
> den Zusammenhang
>  [mm]T_{S}(t)=T_{M}+(T_{2}-T_{M})\cdot e^{-\bruch{t-t_{0}}{K_{t}}[/mm]
> mit [mm]K_{t}=30 \; s[/mm] hinreichend genau beschreiben.
>  
> a) Leiten sie aus der Energiebilanzgleichung die Formel
> für die Mischungstemperatur
> [mm]T_{M}=T_{1}+\bruch{(m_{S}\cdot c_{S})\cdot (T_{2}-T_{1})}{\cdots ? \cdots}[/mm]
>  

Ich hab's nicht so mit Formeln, deshalb hier eine Beschreibung meines Vorgehens:

1. Addition aller vorhandenen Wärmeenergien
   Kalorimeter: [mm] C_{Kal}*T_1, [/mm] da das K. die selbe Temperatur wie das Wasser hat.
   Wasser: [mm] C_W*T_1*m_W [/mm]
   Stahl: [mm] C_S*T_2*m_S [/mm]

Macht zusammen die Wärmeenergie [mm] C_{Kal}*T_1+C_W*T_1*m_W+C_S*T_2*m_S [/mm]

2. Wärmemenge nach Temperaturausgleich: Genau dasselbe, aber alle haben dieselbe Temperatur [mm] T_M: [/mm]

   [mm] C_{Kal}*T_M+C_W*T_M*m_W+C_S*T_M*m_S= (C_{Kal}+C_W*m_W+C_S*m_S)*T_M [/mm]

3. Gleichsetzen und dann durch die letzte Klammer Teilen:
   [mm] (C_{Kal}+C_W*m_W+C_S*m_S)*T_M [/mm] = [mm] C_{Kal}*T_1+C_W*T_1*m_W+C_S*T_2*m_S [/mm]

   [mm] T_M=\bruch{C_{Kal}*T_1+C_W*T_1*m_W+C_S*T_2*m_S}{C_{Kal}+C_W*m_W+C_S*m_S} [/mm]


Beim Kalorimetergefäß ändert sich die Masse nicht, deshalb ist in [mm] C_{Kal} [/mm] schon die spez. Wärmekapazität mit der effektiven Masse multipliziert in  kJ/K angegeben. Bei Wasser und Stahl stimmt die Einheit von C nicht, sie lautet richtig kJ/(kg*K).

b) Zahlen in a) einsetzen.
c) Exponentialgleichung, die als Endwert für [mm] t=\infty T_M [/mm] ergibt. Darin die angegebene Temp. einsetzen und auflösen.

Bezug
                
Bezug
Mischungstemperatur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Mi 17.11.2021
Autor: Qliphoth

Dann bedanke ich mich vielmals für die Hilfe und Mühe. Also ausgehend davon ist mein Ansatz komplett richtig, wobei ich immer noch nicht ganz verstehe, wie die auf die spezielle Form kommen wollen.

Aufgabenteil b) und c) hatte ich als solche schon gelöst gehabt, wobei ich natürlich nicht sicher war, ob diese aufgrund von a) dann auch die richtigen Werte waren.

Nochmals danke.

Bezug
                        
Bezug
Mischungstemperatur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:17 Do 18.11.2021
Autor: chrisno

$ [mm] T_M=\bruch{C_{Kal}\cdot{}T_1+C_W\cdot{}T_1\cdot{}m_W+C_S\cdot{}T_2\cdot{}m_S}{C_{Kal}+C_W\cdot{}m_W+C_S\cdot{}m_S} [/mm] $
[mm] $=\bruch{C_{Kal}\cdot{}T_1+C_W\cdot{}T_1\cdot{}m_W+C_S\cdot{}(T_2+T_1-T_1)\cdot{}m_S}{C_{Kal}+C_W\cdot{}m_W+C_S\cdot{}m_S} [/mm] $
[mm] $=\bruch{C_{Kal}\cdot{}T_1+C_W\cdot{}T_1\cdot{}m_W+C_S\cdot{}T_1\cdot{}m_S+C_S\cdot{}(T_2-T_1)\cdot{}m_S}{C_{Kal}+C_W\cdot{}m_W+C_S\cdot{}m_S} [/mm] $
[mm] $=\bruch{T_1(C_{Kal}\cdot{}+C_W\cdot{}m_W+C_S\cdot m_S)+C_S\cdot{}(T_2-T_1)\cdot{}m_S}{C_{Kal}+C_W\cdot{}m_W+C_S\cdot{}m_S} [/mm] $


Bezug
                        
Bezug
Mischungstemperatur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:25 Fr 19.11.2021
Autor: HJKweseleit


> Dann bedanke ich mich vielmals für die Hilfe und Mühe.
> Also ausgehend davon ist mein Ansatz komplett richtig,

Nicht ganz, [mm] C_{Kal} [/mm] wird nicht mit [mm] m_W [/mm] multipliziert.



> wobei ich immer noch nicht ganz verstehe, wie die auf die
> spezielle Form kommen wollen.

Neben der Umformung von chrisno kannst du durch folgende Überlegung die Formel so herleiten:


Zunächst haben alle Körper die selbe Temperatur [mm] T_1. [/mm]

Nun erwärmst du den Stahl in Gedanken allein auf die Temperatur [mm] T_2. [/mm] Dazu brauchst du die Wärmeenergie [mm] c_S*m_S*(T_2-T_1). [/mm]
Tatsächlich befindet sich der Stahl - wieder in Gedanken -  schon mit dem Wasser im Kalorimeter, und alle 3 Substanzen erwärmen sich stattdessen gleichzeitig auf die Temperatur [mm] T_2. [/mm] Gibt man die obige Energie an alle 3 Körper ab, so ist

[mm] c_S*m_S*(T_2-T_1)=(c_S*m_S+c_W*m_W+C_{Kal})*\Delta [/mm] T    [mm] (\Delta [/mm] T=Temperaturzuwachs)

und damit [mm] T_{M}=T_{1}+\Delta [/mm] T [mm] =T_{1}+\bruch{(m_{S}\cdot c_{S})\cdot (T_{2}-T_{1})}{c_S*m_S+c_W*m_W+C_{Kal}} [/mm]

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