Definition

Der Hauptteil einer meromorphen Funktion $f$ im Punkt $a$, die dort einen Pol der Ordnung $n [mm] \ge [/mm] 1$ hat, ist eine rationale Funktion der Gestalt

[mm] [center]$h_a(z) [/mm] = [mm] \frac{c_{-n}}{(z-a)^n} [/mm] + [mm] \frac{c_{-n+1}}{(z-a)^{n-1}} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{c_{-1}}{z-a}$[/center] [/mm]

mit [mm] $c_{-n} \ne [/mm] 0$ Jedes derartige Polynom [mm] $h_a$ [/mm] in [mm] $(z-a)^{-1}$ [/mm] wollen wir einen Hauptteil mit Entwicklungspunkt $a$ nennen.

Eine Hauptteilverteilung $H$ auf der offenen Menge $U [mm] \subset \IC$ [/mm] ist eine Menge

[mm] $H=\{h_a : a \in P\}$ [/mm]

von Hauptteilen in $a$, wobei die Entwicklungspunkte $a$ eine in $U$ diskrete Menge $P$ bilden.

Jede meromorphe Funktion $f$ definiert eine Hauptteilverteilung $H(f)$, wenn man für $P$ die Polstellenverteilung von $f$ nimmt und dort die jeweiligen Hauptteile von $f$ wählt. Ist $f$ holomorph, so ist $H(f)$ leer.

Eine Hauptteilverteilung $H$ heißt lösbar, wenn es eine meromorphe Funktion $f$ auf $U$ mit $H=H(f)$ gibt. Die Funktion $f$ heißt dann eine Lösung von $H$.

Folgerung

Es sei $f$ eine in [mm] $\IC$ [/mm] meromorphe Funktion mit den Hauptteilen [mm] $h_{\nu}$ [/mm] in den Punkten [mm] $a_{\nu}$, $\nu=0,1,2,\ldots$. [/mm] Dann gibt es eine Folge ganzer Zahlen [mm] $k_{\nu} \ge [/mm] -1$ und eine ganze Funktion $h$, so dass gilt: Ist [mm] $P_{\nu}$ [/mm] das Taylorpolynom der Ordnung [mm] $k_{\nu}$ [/mm] von [mm] $h_{\nu}$ [/mm] bezüglich des Nullpunktes, so konvergiert die Reihe

$g(z) = [mm] h_0(z) [/mm] + [mm] \sum\limits_{\nu=1}^{\infty}(h_{\nu}(z) [/mm] - [mm] P_{\nu}(z))$ [/mm]

kompakt in [mm] $\IC$, [/mm] und es ist:

$f(z) = h(z) + g(z)$.

Durch $f$ und die [mm] $k_{\nu}$ [/mm] ist $h$ eindeutig bestimmt.