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Mittelpunkt des Gebietsintegra: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:10 Mi 05.02.2014
Autor: arti8

Aufgabe
Man berechne [mm] \integral_{G}^{}{\integral_{}^{}{f(x,y) } dG} [/mm] unter Verwendung geeigneter Transformationen

f) G={ (x,y) [mm] \in R^2 [/mm] : [mm] x^2+y^2-x\le0 [/mm] , [mm] x^2+y^2-y\ge0 [/mm] , [mm] y\ge0 [/mm] }  
[mm] f=x^2+y^2 [/mm]


Hallo,

Ich habe folgende Rechnung vorliegen welche ich nachvollziehen kann weil keine Zwischenschritte aufgeführt wurden.

also es fängt direkt so an:

[mm] x^2-x+(\bruch{1}{2})^2-\bruch{1}{4}+y^2\le0 [/mm]
[mm] (x-\bruch{1}{2})^2-y^2\le\bruch{1}{4} [/mm]   (Kreis)


kann mir einer verraten wie ich die Brüche herausfinde ? Und wie diese Gleichung zustande kommt ?

        
Bezug
Mittelpunkt des Gebietsintegra: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:44 Mi 05.02.2014
Autor: arti8

bzw wie kann ich die x,y-ebene darstellen ? dann kann ich das ja auch ablesen. Aber besser wäre es glaube ich das rechnerisch zu ermitteln.

Bezug
        
Bezug
Mittelpunkt des Gebietsintegra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:55 Do 06.02.2014
Autor: arti8

Ok, ich habe die Brüche nun herausgefunden. mit einer quadratischen ergänzung, kann ich die Scheitelpunkte bestimmen.

Gibt es noch eine andere Möglichkeit das iwie zu berechnen ?

Bezug
                
Bezug
Mittelpunkt des Gebietsintegra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:26 Do 06.02.2014
Autor: Sax

Hi,

das Wort "Scheitelpunkt" kennst du wahrscheinlich von deinem Studium der Parabeln her. (Der zur Funktion f mit [mm] f(x)=a*(x-x_s)^2+y_s [/mm] gehörende Graph hat den Scheitelpunkt [mm] S=(x_s|y_s) [/mm] ).
Hier ist der Begriff fehl am Platz, weil du es mit zwei Kreisgleichungen zu tun hast :  Die Punkte (x|y), deren Koordinaten der Gleichung [mm] (x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2 [/mm] genügen, liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt [mm] M=(x_m|y_m) [/mm] und dem Radius r.

Zu deinem Gebiet G gehören alle Punkte, die innerhalb des einen Kreises, außerhalb des anderen Kreises und oberhalb der x-Achse liegen oder auf dem Rand dieses Gebietes.

Gruß Sax.


Bezug
                        
Bezug
Mittelpunkt des Gebietsintegra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:35 Do 06.02.2014
Autor: arti8

Ok verstehe ich alles soweit, das mit dem:


> Koordinaten der Gleichung [mm](x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2[/mm] genügen,
> liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt [mm]M=(x_m|y_m)[/mm] und
> dem Radius r.

Also war die quadratische Ergänzung bei beiden Gleichungen notwendig richtig ?
I) [mm] x^2+y^2-x\le0 [/mm]
[mm] II)x^2+y^2-y\ge0 [/mm]

Damit ich die gesuchte Form für kreisflächengleichung bekomme ?

somit habe ich nun folgende Gleichungen bekommen:
I) [mm] (x-\bruch{1}{2})^2+y^2\le\bruch{1}{4} [/mm]
II) [mm] (y-\bruch{1}{2})^2+x^2\ge\bruch{1}{4} [/mm]

und dann setze ich die in die Kreisflächenformel ein würde dann so aussehen:
I) [mm] (x-\bruch{1}{2})^2+(y-0)^2=(\bruch{1}{2})^2 [/mm]
II) [mm] (y-\bruch{1}{2})^2+(x-0)^2=(\bruch{1}{2})^2 [/mm]

und kann sie Mittelpunkte und den radius ablesen:
[mm] M_I_)(\bruch{1}{2},0) [/mm] ;  [mm] r_I_)=\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] M_I_I_)(0,\bruch{1}{2}) [/mm] ; [mm] r_I_I_)=\bruch{1}{2} [/mm]

Ist das so korrekt ?

Bezug
                                
Bezug
Mittelpunkt des Gebietsintegra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Do 06.02.2014
Autor: fred97


> Ok verstehe ich alles soweit, das mit dem:
>  
>
> > Koordinaten der Gleichung [mm](x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2[/mm] genügen,
> > liegen auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt [mm]M=(x_m|y_m)[/mm] und
> > dem Radius r.
>  
> Also war die quadratische Ergänzung bei beiden Gleichungen
> notwendig richtig ?
> I) [mm]x^2+y^2-x\le0[/mm]
>  [mm]II)x^2+y^2-y\ge0[/mm]
>  
> Damit ich die gesuchte Form für kreisflächengleichung
> bekomme ?
> somit habe ich nun folgende Gleichungen bekommen:
>  I) [mm](x-\bruch{1}{2})^2+y^2\le\bruch{1}{4}[/mm]
>  II) [mm](y-\bruch{1}{2})^2+x^2\ge\bruch{1}{4}[/mm]
>  
> und dann setze ich die in die Kreisflächenformel ein
> würde dann so aussehen:
>  I) [mm](x-\bruch{1}{2})^2+(y-0)^2=(\bruch{1}{2})^2[/mm]
>  II) [mm](y-\bruch{1}{2})^2+(x-0)^2=(\bruch{1}{2})^2[/mm]
>  
> und kann sie Mittelpunkte und den radius ablesen:
>  [mm]M_I_)(\bruch{1}{2},0)[/mm] ;  [mm]r_I_)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  [mm]M_I_I_)(0,\bruch{1}{2})[/mm] ; [mm]r_I_I_)=\bruch{1}{2}[/mm]
>  
> Ist das so korrekt ?  

Ja

FRED


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