Mittelpunktsberechnung kreis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 30.10.2005 | | Autor: | marla |
Also gegeben ist ein kreis mit dem Radius 5 LE ein Punkt P(-1/3) der auf dem kreis liegt, außerdem noch eine Tangente die den kreis in einem punkt berühert,(logisch) mit -3x+4y+9=0
gesucht ist also der mittelpunkt des kreises.
also bitte helfen, ich hab schon versucht die kreisgleichng mit der tangentengleichung gleich zu setzten aber des geht ja nicht weil ich den punkt ja nicht habe in dem die tangente den kreis berühert.....außerdem hab ich noch eine andere gleichung die allg. kreisgleichung in der ich den punkt eingesetzt habe...
bitte um hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 So 30.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo marla,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Formen wir Deine Tangentengleichung mal um:
$-3x+4y+9 \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] - [mm] \bruch{9}{4}$
[/mm]
Und mit der Steigung der Tangenten [mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{4}$ [/mm] kennen wir automatisch auch die Steigung der Normalen, die ja senkrecht auf die Tangente steht und durch den Mittelpunkt verläuft:
[mm] $m_n [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{1}{m_t} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
Damit können wir nun auch die Gleichung der Normalen gemäß Punkt-Steigungs-Form aufstellen:
[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_M}{x-x_M} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{4}{3}$ $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] -\bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}*x_M [/mm] + [mm] y_M$
[/mm]
Durch Gleichsetzen mit der Tangentengleichung erhält man ja exakt den Berührpunkt der Tangenten $B \ [mm] \left( \ x_B \ \left| \ y_B \ \right)$ :
$-\bruch{4}{3}x_B + \bruch{4}{3}*x_M + y_M \ = \ \bruch{3}{4}x_B - \bruch{9}{4}$
Hieraus kann man nun $x_B$ und $y_B$ in Abhängigkeit von $x_M$ und $y_M$ ausrechnen und anschließend in die Kreisgleichung einsetzen.
Gemeinsam mit der Kreisgleichung für den Punkt $P \ \left( \ -1 \ \left| \ 3 \ \right)$ kannst Du nun die Koordinaten des Mittelpunktes berechnen.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 30.10.2005 | | Autor: | marla |
ich habe nun die gleichung der tangente mit der der normalen gleichgesetzt. nun tritt aber folgendes problem auf
[mm] 2\bruch{1}{12} x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} x_{m} [/mm] + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] = [mm] y_{m}
[/mm]
setze ich diese formel nun in die Kreisgleicung zusammen mit dem Punkt, dann habe ich immernoch das [mm] x_{1} [/mm] in der gleichung stehen...
25 = 10 + 2 [mm] x_{m} [/mm] + [mm] x_{m}^2 [/mm] - [mm] 6y_{m} [/mm] + [mm] y_{m}^2
[/mm]
wenn man also nun in diese gleichung für [mm] y_{m} [/mm] die obenstehende gleichung einsetzt erhält man folgendes
15= [mm] 2x_{m} [/mm] + [mm] x_{m}^2 -6(2\bruch{1}{12} x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} x_{m} [/mm] + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] ) + [mm] (2\bruch{1}{12} x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3} x_{m} [/mm] + [mm] \bruch{9}{4} )^2
[/mm]
man hat also [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{m} [/mm] in der gleichung enthalten
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Hallo Marla,
ich habe nichts hier nachgerechnet.
> ich habe nun die gleichung der tangente mit der der
> normalen gleichgesetzt. nun tritt aber folgendes problem
> auf
> [mm]2\bruch{1}{12} x_{1}+\bruch{4}{3} x_{m}+\bruch{9}{4}=y_{m}[/mm]
[mm] x_1 [/mm] ist wohl die x-Koordinate des Berührpunkts?
Dann stell sie mal frei und berechne mit ihr die y-Koordinate des Berührpunkts.
(der Berührpunkt liegt auf den beiden Geraden..)
[mm] x_1 [/mm] = ...
[mm] y_1 [/mm] =...
einsetzen in [mm] $(x_1-x_M)^2+(y_1-y_M)^2 [/mm] = 25$ liefert die eine Gleichung,
[mm] $(x_P-x_M)^2 +(y_P [/mm] - [mm] y_M)^2 [/mm] = 25$ liefert dir mit den Koordinaten von P die zweite Gleichung,
um [mm] x_M [/mm] und [mm] y_M [/mm] zu berechnen.
>
> setze ich diese formel nun in die Kreisgleicung zusammen
> mit dem Punkt, dann habe ich immernoch das [mm]x_{1}[/mm] in der
> gleichung stehen...
> 25 = 10 + 2 [mm]x_{m}[/mm] + [mm]x_{m}^2[/mm] - [mm]6y_{m}[/mm] + [mm]y_{m}^2[/mm]
> wenn man also nun in diese gleichung für [mm]y_{m}[/mm] die
> obenstehende gleichung einsetzt erhält man folgendes
>
> 15= [mm]2x_{m}[/mm] + [mm]x_{m}^2 -6(2\bruch{1}{12} x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{4}{3} x_{m}[/mm]
> + [mm]\bruch{9}{4}[/mm] ) + [mm](2\bruch{1}{12} x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{4}{3} x_{m}[/mm]
> + [mm]\bruch{9}{4} )^2[/mm]
>
> man hat also [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{m}[/mm] in der gleichung enthalten
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mo 31.10.2005 | | Autor: | marla |
da hat man aber trotzdem noch mehr variablen als [mm] x_{m} [/mm] und [mm] y_{m} [/mm] drin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marla!
Durch Gleichsetzen von Tangentengleichung und Normalengleichung erhalte ich für den Berührpunkt:
[mm] $x_B [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{25}*\left(16x_M + 12y_M +27\right)$
[/mm]
[mm] $y_B [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3}{25}*\left(4x_M + 3y_M -12\right)$
[/mm]
(Ohne Gewähr, bitte nachrechnen!)
Und diese beiden Werte kannst Du nun in die Kreisgleichung einsetzen:
[mm] $\left(x_B - x_M\right)^2 [/mm] + [mm] \left(y_B - y_M\right)^2 [/mm] \ = \ 25$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Mo 31.10.2005 | | Autor: | marla |
ok an sich is das ein guter ansatz gewesen, hab ihn ausgeführt
und bin zu dieser lösung gekommen
[mm] \bruch{9}{25} x_{m}^2 [/mm] - 2 [mm] \bruch{4}{25} x_{m} [/mm] - [mm] \bruch{24}{25}x_{m}y_{m} [/mm] + [mm] \bruch{16}{25} y_{m}^2 [/mm] + [mm] 2\bruch{22}{25} y_{m} [/mm] = 21 [mm] \bruch{19}{25}
[/mm]
wie soll man das jetzt in die gleichung einsetzten, in der man den vorgegebenen punkt eingesetzt hat
25= 10+ [mm] 2x_{m} [/mm] + [mm] x_{m}^2 [/mm] - [mm] 6y_{m}+ y_{m}^2
[/mm]
man könnte [mm] x_{m} [/mm] oder [mm] y_{m} [/mm] zwar ausklammern jedoch hat man durch das quadrat immernoch 1 [mm] y_{m} [/mm] oder [mm] x_{m} [/mm] drin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marla!
> [mm]\bruch{9}{25} x_{m}^2[/mm] - 2 [mm]\bruch{4}{25} x_{m}[/mm] - [mm]\bruch{24}{25}x_{m}y_{m}[/mm] + [mm]\bruch{16}{25} y_{m}^2[/mm] + [mm]2\bruch{22}{25} y_{m}[/mm] = 21 [mm]\bruch{19}{25}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das formen wir mal um:
[mm] $9x_m^2 [/mm] - [mm] 54x_m -24x_m y_m [/mm] + [mm] 16y_m^2 [/mm] + [mm] 72y_m [/mm] \ = \ 544$
[mm] $9x_m^2 [/mm] - [mm] 54x_m -24x_m y_m [/mm] + [mm] 16y_m^2 [/mm] + [mm] 72y_m [/mm] +81 \ = \ 625$
[mm] $\left(3x_m - 4y_m - 9\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] 25^2$
[/mm]
[mm] $3x_m [/mm] - [mm] 4y_m [/mm] - 9 \ = \ [mm] \pm [/mm] 25$
Edit: Tippfehler korrigiert - da war ein Quadrat noch zuviel drin! Loddar
Nun Fallunterscheidung machen, nach [mm] $x_m$ [/mm] oder [mm] $y_m$ [/mm] auflösen und in die andere Kreisgleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 31.10.2005 | | Autor: | marla |
jaja es tut mir leid aber ich bin langsam echt am verzweifeln erst mal danke das mir so supi geholfen wird und zwar hab ich jetzt 2 geichungen
23= [mm] 2x_{m} [/mm] + 2,5 [mm] x_{m}^2 [/mm] + [mm] \bruch{9}{16}x_{m}^4
[/mm]
-108 [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] 2x_{m} [/mm] - 11 [mm] \bruch{3}{4}x_{m}^2+ \bruch{9}{16} x_{m}^4
[/mm]
die beiden gleicungen kommen dadurch zustande dass man ja einmal -25 nd das andere mal +25 hat
problem an der ganzen sache is jetzt moch wie man das [mm] x_{m} [/mm] ausrechnet
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Hallo Marla,
> jaja es tut mir leid aber ich bin langsam echt am
> verzweifeln erst mal danke das mir so supi geholfen wird
> und zwar hab ich jetzt 2 geichungen
>
> 23= [mm]2x_{m}[/mm] + 2,5 [mm]x_{m}^2[/mm] + [mm]\bruch{9}{16}x_{m}^4[/mm]
>
> -108 [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]2x_{m}[/mm] - 11 [mm]\bruch{3}{4}x_{m}^2+ \bruch{9}{16} x_{m}^4[/mm]
>
> die beiden gleicungen kommen dadurch zustande dass man ja
> einmal -25 nd das andere mal +25 hat
>
> problem an der ganzen sache is jetzt moch wie man das [mm]x_{m}[/mm]
> ausrechnet
Subtrahiere die zwei Gleichungen voneinander.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 31.10.2005 | | Autor: | marla |
nein das geht nicht, dann hätte man für den x wert rund 3 raus und für den y wert einmal -1,75 und das andere 10.75 was ja letztendlich dann im bild nicht klappt!! außerdem kann man die nicht einfach so subtrahieren!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Di 01.11.2005 | | Autor: | marla |
womit die aufgabe gelöst wäre und zwar mit
[mm] x_{m} [/mm] = 2.87 [mm] y_{m}= [/mm] 6.2
[mm] x_{m}= [/mm] -5.11 [mm] y_{m} [/mm] = 0.2
dankeeee!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marla1
Du brauchst nicht jedesmal Deine Ausgangsfrage auf "unbeantwortet/statuslos" stellen, wenn Du sowieso eine Rückfrage stellst.
Gruß
Loddar
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
Da hatte sich doch tatsächlich der Fehlerteufel in meine obige Antwort eingeschlichen ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
(ich habe es inzwischen korrigiert ...).
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/40167,0.html