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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 Do 20.10.2005 | | Autor: | Binu |
Hi an alle! Bei mir ist es mit der Stochastik schon ein wenig her und nun scheine ich die einfachsten Aufgaben nicht mehr lösen zu können - ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt..Vielen lieben Dank im vorraus..
1) Gegeben seien n Zahlenwerte x1,...,xn [mm] \in [/mm] R. Zeigen Sie, dass die Summe der Abweichungen vom Mittelwert m nach oben gleich der Summe der Abweichungen von m nach unten ist.
Ansatz: Was muss ich denn wie gleich 0 setzen?
2) Gegeben seien n Zahlenwerte x1,...,xn [mm] \in [/mm] R. Begründen Sie, dass die mittlere lineare Abweichung 1/n mal Summe k=1 bis n mal (xk - m) vom Mittelwert m als Streuungsmaß ungeeignet ist.
Ansatz: Vielleicht wegen den Betragsstrichen?!?
3) Berechnen Sie die mittlere lineare Abweichung 1/n mal Summe k=1 bis n mal (xk - xm) vom Median xm.
Ansatz: ?
4) Wie groß ist die lineare Abweichung vom Median bei einer ungeraden Anzahl von Merkmalsausprägungen, die symmetrisch zu xm liegen? Begründen Sie nun anhand eines Beispiels, dass die lineare Abweichung vom Median kein geeignetes Streuungsmaß sein kann.
Ansatz: ?
Vielen Dank..
Mfg
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Hallo Binu!
> 1) Gegeben seien n Zahlenwerte x1,...,xn [mm]\in[/mm] R. Zeigen Sie,
> dass die Summe der Abweichungen vom Mittelwert m nach oben
> gleich der Summe der Abweichungen von m nach unten ist.
Ich interpretiere die Aufgabe so: Wenn [mm] $x_{(1)},\ldots,x_{(n)}$ [/mm] die geordnete Messreihe bezeichnet, also [mm] $x_{(1)}$ [/mm] das Minimum und [mm] $x_{(n)}$ [/mm] das Maximum, und ferner [mm] $k_0$ [/mm] der größte Index ist mit [mm] $x_{(k)}\le [/mm] m$ für alle [mm] $k\le k_0$, [/mm] dann soll gezeigt werden:
[mm] $\sum_{k=1}^{k_0} (m-x_k) [/mm] = [mm] \sum_{k=k_0+1}^{n} (x_k-m)$
[/mm]
Dies folgt aber direkt aus
[mm] $0=m-m=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (x_k-m) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{k_0} (x_k-m) [/mm] + [mm] \frac{1}{n}\sum_{k=k_0+1}^{n} (x_k-m)$
[/mm]
> 2) Gegeben seien n Zahlenwerte x1,...,xn [mm]\in[/mm] R. Begründen
> Sie, dass die mittlere lineare Abweichung 1/n mal Summe k=1
> bis n mal (xk - m) vom Mittelwert m als Streuungsmaß
> ungeeignet ist.
>
> Ansatz: Vielleicht wegen den Betragsstrichen?!?
Ich denke, Du bist auf dem richtigen Weg. In der Aufgabe erkenne ich keine Betragsstriche. Und so kommt (wie oben gesehen) immer
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (x_k-m) [/mm] =0$
heraus. Mit Betragsstrichen wäre das ein ordentliches Streuungsmaß. Es lässt sich halt nur analytisch besser mit Quadraten als mit Betragsstrichen rechnen.
> 3) Berechnen Sie die mittlere lineare Abweichung 1/n mal
> Summe k=1 bis n mal (xk - xm) vom Median xm.
>
> Ansatz: ?
Hier fällt mir nicht viel ein außer:
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} (x_k-xm) =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} x_k-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} [/mm] xm=m-xm,$
also die Differenz zwischen arithmetischem Mittel und Median.
>
> 4) Wie groß ist die lineare Abweichung vom Median bei einer
> ungeraden Anzahl von Merkmalsausprägungen, die symmetrisch
> zu xm liegen? Begründen Sie nun anhand eines Beispiels,
> dass die lineare Abweichung vom Median kein geeignetes
> Streuungsmaß sein kann.
>
> Ansatz: ?
Bei so einer symmetrischen Anordnung ist m=xm, und deshalb die lineare Abweichung vom Median gleich 0. Jetzt kannst Du ja mal zwei konkrete Messreihen angeben, die beide die lineare Abweichung 0 vom Median haben, aber offenkundig eine unterschiedliche Streuung aufweisen.
Viele Grüße
Brigitte
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Ist die erste Frage richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 16.10.2007 | | Autor: | luis52 |
> Ist die erste Frage richtig?
Ja, die erste Loesung ist korrekt.
lg Luis
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