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| Aufgabe | | Geben Sie drei Funktionen an, deren Mittelwert der Funktionswerte auf [-2;2] genau 1 ist. |
Hallo MatheForum!
In meinem Mathebuch ist diese Aufgabe zu finden und ich habe keine Ahnung, wie ich drei entsprechende Funktionen ermitteln könnte.
Nach der Formel [mm] \overline{m}-Formel [/mm] lautet mein "Ansatz":
[mm] \overline{m}= \bruch{1}{4} \integral_{-2}^{2}{f(x) dx} [/mm] = 1
Ich weiß aber nicht, wie ich nun auf entsprechende Funktionen schließen kann.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
LG Eli
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> Geben Sie drei Funktionen an, deren Mittelwert der
> Funktionswerte auf [-2;2] genau 1 ist.
> Hallo MatheForum!
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> In meinem Mathebuch ist diese Aufgabe zu finden und ich
> habe keine Ahnung, wie ich drei entsprechende Funktionen
> ermitteln könnte.
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> Nach der Formel [mm]\overline{m}-Formel[/mm] lautet mein "Ansatz":
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> [mm]\overline{m}= \bruch{1}{4} \integral_{-2}^{2}{f(x) dx} = 1[/mm]
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> Ich weiß aber nicht, wie ich nun auf entsprechende
> Funktionen schließen kann.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte.
Ich denke, dass Du nicht zu weit suchen und Dich mit einer simplen Lösung begnügen solltest. So ist z.B. der Mittelwert der konstanten Funktion $f(x):=1$ über dem Intervall $[-2;2]$ (sogar über jedem nicht-leeren Intervall) gleich $1$. Dies wäre also schon mal eine billig zu habende Funktion mit der gewünschten Eigenschaft.
Und dann wäre noch die Funktion [mm]f(x) := x+1[/mm] (wie komme ich bloss auf diese Funktion? Vielleicht machst Du Dir besser eine Skizze der Graphen von [mm]f(x):= 1[/mm] und [mm]f(x) := x+1[/mm].). - Dies ist ein zweites Beispiel.
Vielleicht haben Dich diese Trivialbeispiele nun genügend aufgelockert, dass Du sogleich selbst ein drittes Beispiel findest. (Nur nicht schüchtern! Der Aufgabensteller hat Dir eine simple Frage gestellt, also gib ihm ganz ohne schlechtes Gewissen eine simple Antwort.)
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Hallo Somebody,
vielen Dank für deine Hilfe!
Leider verstehe ich die Sache immer noch nicht.
f(x)=1 habe ich kapiert.
Wie du so problemlos auf f(x)= x+1 bleibt mir aber noch eiN Rätsel.
Ich hab mir die zwei Graphen zeichnen lassen. Sehe aber keine Verbindung.
Ein drittes Beispiel wäre [mm] 0,75x^{2}.
[/mm]
Das habe ich aber mittels bloßem Probieren gefunden (= Zufall).
??
Tut mir leid, dass ich's nicht verstehe.
Kannst du bei deiner erklärung evt. etwas weiter ausholen?
LG Eli
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> Hallo Somebody,
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> vielen Dank für deine Hilfe!
> Leider verstehe ich die Sache immer noch nicht.
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> f(x)=1 habe ich kapiert.
> Wie du so problemlos auf f(x)= x+1 bleibt mir aber
> noch eiN Rätsel.
>
> Ich hab mir die zwei Graphen zeichnen lassen. Sehe aber
> keine Verbindung.
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> Ein drittes Beispiel wäre [mm]0,75x^{2}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Das habe ich aber mittels bloßem Probieren gefunden (=
> Zufall).
>
> ??
> Tut mir leid, dass ich's nicht verstehe.
> Kannst du bei deiner erklärung evt. etwas weiter
> ausholen?
Schau Dir die beiden Graphen von $f(x) := 1$ und $f(x) := x+1$ nochmals genauer an. Die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=x+1$ und der $x$-Achse wird durch die horizontale Linie des Graphen von $f(x)=1$ in zwei (bezüglich Flächeninhalt) Teilflächen zerlegt: der eine Teil liegt unterhalb der andere oberhalb der horizontalen Linie. Die Differenzfläche unterhalb von $y=1$ ist gleich gross, wie die Differenzfläche oberhalb von $y=1$: daher mittelt sich die Differenzfunktion $(x+1)-1=x$ über dem Intervall $[-2;2]$ beim Integrieren zu $0$ heraus. Die beiden Funktionen haben denselben Mittelwert über diesem Intervall.
Anders herum formuliert: Du kannst zur trivialen Lösung $f(x) := 1$ (konstant) jede Funktion dazuzählen, für die $\int_{-2}^2 f_2(x)\, dx=0$ ist um eine weitere Lösung zu erhalten. Insbesondere kannst Du bei Deiner Aufgabe, weil das Integrationsintervall $[-2;2]$ symmetrisch zu $0$ liegt, jede ungerade Funktion zur trivialen Lösung $f(x)=1$ dazuzählen, um eine weitere Lösung zu erhalten. Also etwa jede ungerade ganzrationale Funktion.
Oder, andere Idee: Du kannst eine beliebige über $[-2;2]$ integrierbare Funktion wählen, sagen wir $g(x)$, und dann $f(x):= g(x)-\int_{-2}^2 g(x)\, dx\;\red{+\,1}$ setzen.
Korrektur (aufgrund der nachfolgenden Mitteilung von MathePower): obige Definition einer geeigneten Funktion $f(x)$ sollte $f(x):= g(x)-\red{\frac{1}{4}}\int_{-2}^2 g(x)\, dx\;+1}$ lauten.
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Hallo Somebody,
> > Hallo Somebody,
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> > vielen Dank für deine Hilfe!
> > Leider verstehe ich die Sache immer noch nicht.
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> > f(x)=1 habe ich kapiert.
> > Wie du so problemlos auf f(x)= x+1 bleibt mir aber
> > noch eiN Rätsel.
> >
> > Ich hab mir die zwei Graphen zeichnen lassen. Sehe aber
> > keine Verbindung.
> >
> > Ein drittes Beispiel wäre [mm]0,75x^{2}.[/mm]
> > Das habe ich aber mittels bloßem Probieren gefunden (=
> > Zufall).
> >
> > ??
> > Tut mir leid, dass ich's nicht verstehe.
> > Kannst du bei deiner erklärung evt. etwas weiter
> > ausholen?
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> Schau Dir die beiden Graphen von [mm]f(x) := 1[/mm] und [mm]f(x) := x+1[/mm]
> nochmals genauer an. Die Fläche zwischen dem Graphen von
> [mm]f(x)=x+1[/mm] und der [mm]x[/mm]-Achse wird durch die horizontale Linie
> des Graphen von [mm]f(x)=1[/mm] in zwei (bezüglich Flächeninhalt)
> Teilflächen zerlegt: der eine Teil liegt unterhalb der
> andere oberhalb der horizontalen Linie. Die Differenzfläche
> unterhalb von [mm]y=1[/mm] ist gleich gross, wie die Differenzfläche
> oberhalb von [mm]y=1[/mm]: daher mittelt sich die Differenzfunktion
> [mm](x+1)-1=x[/mm] über dem Intervall [mm][-2;2][/mm] beim Integrieren zu [mm]0[/mm]
> heraus. Die beiden Funktionen haben denselben Mittelwert
> über diesem Intervall.
> Anders herum formuliert: Du kannst zur trivialen Lösung
> [mm]f(x) := 1[/mm] (konstant) jede Funktion dazuzählen, für die
> [mm]\int_{-2}^2 f_2(x)\, dx=0[/mm] ist um eine weitere Lösung zu
> erhalten. Insbesondere kannst Du bei Deiner Aufgabe, weil
> das Integrationsintervall [mm][-2;2][/mm] symmetrisch zu [mm]0[/mm] liegt,
> jede ungerade Funktion zur trivialen Lösung [mm]f(x)=1[/mm]
> dazuzählen, um eine weitere Lösung zu erhalten. Also etwa
> jede ungerade ganzrationale Funktion.
> Oder, andere Idee: Du kannst eine beliebige über [mm][-2;2][/mm]
> integrierbare Funktion wählen, sagen wir [mm]g(x)[/mm], und dann
> [mm]f(x):= g(x)-\int_{-2}^2 g(x)\, dx\;\red{+\,1}[/mm] setzen.
Das muss doch hier so lauten:
[mm]f(x):= g(x)-\red{\bruch{1}{4}}\int_{-2}^2 g(x)\, dx + 1[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Somebody,
>
> > > Hallo Somebody,
> > >
> > > vielen Dank für deine Hilfe!
> > > Leider verstehe ich die Sache immer noch nicht.
> > >
> > > f(x)=1 habe ich kapiert.
> > > Wie du so problemlos auf f(x)= x+1 bleibt mir
> aber
> > > noch eiN Rätsel.
> > >
> > > Ich hab mir die zwei Graphen zeichnen lassen. Sehe aber
> > > keine Verbindung.
> > >
> > > Ein drittes Beispiel wäre [mm]0,75x^{2}.[/mm]
> > > Das habe ich aber mittels bloßem Probieren gefunden
> (=
> > > Zufall).
> > >
> > > ??
> > > Tut mir leid, dass ich's nicht verstehe.
> > > Kannst du bei deiner erklärung evt. etwas weiter
> > > ausholen?
> >
> > Schau Dir die beiden Graphen von [mm]f(x) := 1[/mm] und [mm]f(x) := x+1[/mm]
> > nochmals genauer an. Die Fläche zwischen dem Graphen von
> > [mm]f(x)=x+1[/mm] und der [mm]x[/mm]-Achse wird durch die horizontale Linie
> > des Graphen von [mm]f(x)=1[/mm] in zwei (bezüglich Flächeninhalt)
> > Teilflächen zerlegt: der eine Teil liegt unterhalb der
> > andere oberhalb der horizontalen Linie. Die Differenzfläche
> > unterhalb von [mm]y=1[/mm] ist gleich gross, wie die Differenzfläche
> > oberhalb von [mm]y=1[/mm]: daher mittelt sich die Differenzfunktion
> > [mm](x+1)-1=x[/mm] über dem Intervall [mm][-2;2][/mm] beim Integrieren zu [mm]0[/mm]
> > heraus. Die beiden Funktionen haben denselben Mittelwert
> > über diesem Intervall.
> > Anders herum formuliert: Du kannst zur trivialen
> Lösung
> > [mm]f(x) := 1[/mm] (konstant) jede Funktion dazuzählen, für die
> > [mm]\int_{-2}^2 f_2(x)\, dx=0[/mm] ist um eine weitere Lösung zu
> > erhalten. Insbesondere kannst Du bei Deiner Aufgabe, weil
> > das Integrationsintervall [mm][-2;2][/mm] symmetrisch zu [mm]0[/mm] liegt,
> > jede ungerade Funktion zur trivialen Lösung [mm]f(x)=1[/mm]
> > dazuzählen, um eine weitere Lösung zu erhalten. Also etwa
> > jede ungerade ganzrationale Funktion.
> > Oder, andere Idee: Du kannst eine beliebige über
> [mm][-2;2][/mm]
> > integrierbare Funktion wählen, sagen wir [mm]g(x)[/mm], und dann
> > [mm]f(x):= g(x)-\int_{-2}^2 g(x)\, dx\;\red{+\,1}[/mm] setzen.
>
>
> Das muss doch hier so lauten:
>
> [mm]f(x):= g(x)-\red{\bruch{1}{4}}\int_{-2}^2 g(x)\, dx + 1[/mm]
Stimmt: Asche auf mein Haupt! - Die Konstante [mm] $\int_{-2}^2g(x),dx$ [/mm] wird ja bei der Integration über $[-2;2]$ mit dem Faktor $4$ multipliziert (Länge des Integrationsintervalles).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Sa 14.03.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Somebody,
> > > Oder, andere Idee: Du kannst eine beliebige über
> > [mm][-2;2][/mm]
> > > integrierbare Funktion wählen, sagen wir [mm]g(x)[/mm], und dann
> > > [mm]f(x):= g(x)-\int_{-2}^2 g(x)\, dx\;\red{+\,1}[/mm] setzen.
> >
> >
> > Das muss doch hier so lauten:
> >
> > [mm]f(x):= g(x)-\red{\bruch{1}{4}}\int_{-2}^2 g(x)\, dx + 1[/mm]
>
> Stimmt: Asche auf mein Haupt! - Die Konstante
> [mm]\int_{-2}^2g(x),dx[/mm] wird ja bei der Integration über [mm][-2;2][/mm]
> mit dem Faktor [mm]4[/mm] multipliziert (Länge des
> Integrationsintervalles).
>
[mm]\integral_{-2}^{2}{ \left\{g(x) - \integral_{-2}^{+2}{g(t) \ dt}\right\} \ dx} =0 \Rightarrow \integral_{-2}^{2}{g(x) \ dx}=0[/mm]
Gruß
MathePower
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Ich Hab's verstanden!
Danke für die Hilfe!
LG Eli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:59 So 15.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Mache mal den Ansatz f(x) = ax+b
Dann ist $ [mm] \overline{m}= \bruch{1}{4} \integral_{-2}^{2}{f(x) dx} [/mm] $ = 1 [mm] \gdw [/mm] b=1
Also lösen alle Funktionen der Form f(x) = ax+1 Dein Problem
Mach mal den Ansatz f(x) [mm] =ax^2+bx [/mm] +c dann bekommst Du noch mehr Kandidaten.
FRED
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