Mittelwertsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Sollte folgende Aufgabe lösen:
Zeige, dass folgende "Verallgemeinerung" des Mittelwertsatzes aus Analysis 1 für [mm] n\ge2 [/mm] nicht gilt:
Ist f: [mm] \IR \supset [/mm] [a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] stetig in [a,b] und differenzierbar in (a,b), dann gibt es ein [mm] \gamma \in [/mm] (a,b) mit [mm] f'(\gamma)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.
[/mm]
Kann mir hierzu vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich mit dieser Aufgabe beginnen soll? Reicht es einfach ein Beispiel anzugeben?
Vielen Dank für eure Hilfe!!!!
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Sollte folgende Aufgabe lösen:
> Zeige, dass folgende "Verallgemeinerung" des
> Mittelwertsatzes aus Analysis 1 für [mm]n\ge2[/mm] nicht gilt:
> Ist f: [mm]\IR \supset[/mm] [a,b] [mm]\to \IR^n[/mm] stetig in [a,b] und
> differenzierbar in (a,b), dann gibt es ein [mm]\gamma \in[/mm] (a,b)
> mit [mm]f'(\gamma)=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}.[/mm]
>
> Kann mir hierzu vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich
> mit dieser Aufgabe beginnen soll? Reicht es einfach ein
> Beispiel anzugeben?
ich als ausgewiesener Hobby-Mathematiker würde sagen, dass die Idee mit dem Beispiel tatsächlich die naheliegendste ist. Die Ableitungen deiner Funktion sind ja wieder Vektoren aus dem [mm] \IR^n [/mm] und es sollte klar sein, dass keine der Ableitungen aus dem Intervall (a,b) den fraglichen Mittelwert haben muss. Betrachte doch bspw. mal die parametrisierte Gleichung eines Kreises im [mm] \IR^2.
[/mm]
PS: ich stelle mal auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Fr 04.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Gegenbeispiel ist immer gut, nimm eine geschlossene Kurve in [mm] $\IR^2$ [/mm] oder [mm] $\IR^3$ [/mm] f(a)=f(b) Ableitung nirgends 0.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen
Vielen Dank für eure Antworten.
Also ich nehme dann das Beispiel:
f(t)=(r*cos t, r*sin t), r>0
Nun kann ich hierfür einfach zeigen, dass die Ableitung nirgends 0 ist? Verstehe ich das so richtig?
Vielen Dank für eure Hilfe.
|
|
|
| |
|
> Hallo zusammen
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
>
> Also ich nehme dann das Beispiel:
> f(t)=(r*cos t, r*sin t), r>0
Ja, aber hier ist ja gerade der Trick in dem Intervall von t. Gib uns nochmal einmal das Intervall für t an.
> Nun kann ich hierfür einfach zeigen, dass die Ableitung
> nirgends 0 ist? Verstehe ich das so richtig?
Ja, im Prinzip schon. Zeige, dass die rechte Seite der Behauptung Null ergibt. Und dann wird gezeigt, dass die linke Seite nimmer Null wird für r>0. Und dann hast du es schon.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen
Vielen Dank für eure Hilfe. Sorry das ich erst jetzt zurückschreibe! Ich habe immer noch Probleme mit dieser Aufgabe.
Mein Lösungsansatz:
Sei f: [mm] \IR \to \IR^2, [/mm] f(t)=(cos t, sin t), t [mm] \in [0,2\pi]
[/mm]
Wähle a=0 & [mm] b=2\pi
[/mm]
Dann ist f(b)=(1, 0) & f(a)=(1, 0)
[mm] \Rightarrow \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}=0
[/mm]
Der MWS besagt ja nun, dass es ein [mm] \gamma \in (0,2\pi) [/mm] geben sollte, so dass [mm] f'(\gamma)=0
[/mm]
f'(t)=(-sin t, cos t)
Wie kann ich nun zeigen, dass dies nie 0 ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 07.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(t) und cos(t) sind nie gleichzeitig 0, weil das eine einfach eine Verschiebung um [mm] \pi/2 [/mm] vom anderen ist. du solltest dein 0 als 0 vektor hinschreiben
vielleicht hätte es dir genützt, die die Kreistangenten vorzustellen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 07.04.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo leduart
Vielen Dank für deiene Antwort.
|
|
|
|
