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Hallo zusammen. Ich habe mal eine ganz dringende Frage:
Es geht um den Mittelwertsatz mit folgender Aufgabe:
Beweisen Sie, dass für alle x>0 gilt: [mm] \wurzel{1+x}\le1+\bruch{x}{2}.
[/mm]
Zunächst einmal ist die Ungleichung für x=0 erfüllt. Sei nun x>0, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] \zeta \in [/mm] ]0,x[ mit [mm] f'(\zeta)=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
Ich wähle hierfür nun [mm] f(x)=\wurzel{1+x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\wurzel{1+x}-1}{x}=\bruch{1}{2\wurzel{1+\zeta}} \le \bruch{1}{2} \Rightarrow \wurzel{1+x} \le \bruch{x}{2}+1
[/mm]
Was ich jetzt nicht so ganz verstehe ist, wie die in unserem Tut auf letzteres [mm] (...\le \bruch{1}{2} \Rightarrow \wurzel{1+x} \le \bruch{x}{2}+1) [/mm] gekommen sind!!!
Könntet ihr mir das vielleicht erklären??? Danke schonmal im VOraus. MFG domenigge135
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Hallo domenigge135,
> Hallo zusammen. Ich habe mal eine ganz dringende Frage:
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> Es geht um den Mittelwertsatz mit folgender Aufgabe:
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> Beweisen Sie, dass für alle x>0 gilt:
> [mm]\wurzel{1+x}\le1+\bruch{x}{2}.[/mm]
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> Zunächst einmal ist die Ungleichung für x=0 erfüllt. Sei
> nun x>0, dann gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm]\zeta \in[/mm]
> ]0,x[ mit [mm]f'(\zeta)=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
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> Ich wähle hierfür nun [mm]f(x)=\wurzel{1+x}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \bruch{\wurzel{1+x}-1}{x}=\bruch{1}{2\wurzel{1+\zeta}} \le \bruch{1}{2} \Rightarrow \wurzel{1+x} \le \bruch{x}{2}+1[/mm]
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> Was ich jetzt nicht so ganz verstehe ist, wie die in
> unserem Tut auf letzteres [mm](...\le \bruch{1}{2} \Rightarrow \wurzel{1+x} \le \bruch{x}{2}+1)[/mm]
> gekommen sind!!!
Das [mm] $\xi$ [/mm] ist ja $>0$, damit ist [mm] $1+\xi>1$, [/mm] also [mm] $\sqrt{1+\xi}>\sqrt{1}=1$
[/mm]
Und, wenn du hier zum Kehrbruch übergehst: [mm] $\frac{1}{\sqrt{1+\xi}}<\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{1}$
[/mm]
Damit folgt insgesamt die Ungleichung [mm] $\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{1+\xi}}<\frac{1}{2}$
[/mm]
Der Rest ist reines umformen:
[mm] $\bruch{\wurzel{1+x}-1}{x}<\frac{1}{2} \qquad \mid \cdot{}x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \wurzel{1+x}-1<\frac{1}{2}x \qquad \mid [/mm] +1$
[mm] $\Rightarrow \wurzel{1+x}<\frac{1}{2}x+1$
[/mm]
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> Könntet ihr mir das vielleicht erklären??? Danke schonmal
> im VOraus. MFG domenigge135
LG
schachuzipus
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Achso. Das heißt dann im prinzip, dass [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mehr oder weniger eine Abschätzung ist???
Deshalb schlägt Loddar wahrscheinlich auch das mit Taylor vor. Wobei leider explizit nach dem Mittelwertsatz verlangt wird...
...P.S. wir hatten den MWT bisher immer nur für normale Gleichungen und gegebenem Intervall berechnet. Wobei der MWT ein bischen einfacher anwendbar war...
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Achso. Das heißt dann im prinzip, dass [mm]\bruch{1}{2}[/mm] mehr
> oder weniger eine Abschätzung ist???
Ja.
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> Deshalb schlägt Loddar wahrscheinlich auch das mit Taylor
> vor. Wobei leider explizit nach dem Mittelwertsatz verlangt
> wird...
>
> ...P.S. wir hatten den MWT bisher immer nur für normale
> Gleichungen und gegebenem Intervall berechnet. Wobei der
> MWT ein bischen einfacher anwendbar war...
>
> MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 17.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Ist hier der Mittelwertsatz zwingend vorgeschrieben?
Ansonsten kannst Du die Ungleichung auch beweisen, indem Du für $f(x) \ = \ [mm] \wurzel{1+x}$ [/mm] die entsprechende Taylor-Reihe ermittelst und abschätzt.
Gruß
Loddar
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