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Mittelwertsatz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:39 Sa 02.07.2011
Autor: Jules-20

halli hallo,
ich habe hier genau gesagt drei aufgaben zu dem mittelwertsatz und komm nich mal ansatzweise damit zurecht :(
die aufgaben lauten:

mit hilfe des mittelwersatzes bzw des verallgemeinerten mittelwertsatzes der differentialrechnung beweise man folgende aussagen:

a, die funktion f:(0,unendlich) --> R mit f(x)= (x-1)/(x ln (x)) ist monoton fallend

b, [mm] e^x(y-x) [/mm] < [mm] e^y- e^x [/mm] < [mm] e^y(y-x) [/mm] für x<y

c, gegeben seien die beiden stetigen Funktionen f,g[a,b]-->R, die auf (a,b) differenzierbar seien und f(a) = g(a). Man zeige die golgende Behauptung:
0 <(gleich) f´(x) < g´(x) auf 8a,b9 --> f(x) < g(x) auf (a,b]

bei a kann ich mir vorstellen, dass ich iwie die def von einer monoton fallenden funktion mit einbauen muss, aber wie genau das aussehen soll, da hab ich echt kein plan. wir habe zwar in der übung aufgaben zu dem mws gemacht,aber die sahen komplett anders aus :(

ich hoffe es kann mir jmd ein paar denkanstöße geben
einen schönen samstag noch

liebe grüße jule

        
Bezug
Mittelwertsatz: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 So 03.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Zu Aufgabe a)

Zeige, dass [mm]\forall0 [mm] \frac{\overbrace{\frac{b-1}{b\cdot\ln(b)}}^{f(b)}-\overbrace{\frac{a-1}{a\cdot\ln(a)}}^{f(a)}}{b-a}<0 [/mm]

Marius


Bezug
        
Bezug
Mittelwertsatz: Eine Idee zu c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 So 03.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Zu Aufgabe c) mal folgende Idee, ob sie Funktioniert, weiss ich aber nicht, ich habe sie nicht zuende gedacht.

Es gilt für [mm] x\in[a;b] [/mm]

$ [mm] 0\leq f'(x)\leq [/mm] g'(x) $

Schreiben wir die Differenzierbarbkeitsdefinition mal hin:

$ [mm] 0\leq\limes_{b\to a}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq\limes_{b\to a}\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$ [/mm]

Nun gilt: f(a)=g(a), aslo soll gelten:

$ [mm] 0\leq\limes_{b\to a}\frac{f(b)-g(a)}{b-a}\leq\limes_{b\to a}\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$ [/mm]

Zeige, dass daraus f(x)<g(x) folgt.

Ich würde das mit einem Widerspruchsbeweis zu der Aussage des Mittelwertsatzes versuchen, aber wie gesagt, das ist nur eine Idee.

Marius


Bezug
        
Bezug
Mittelwertsatz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Mo 04.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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