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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mo 14.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Heya,
Hier ist eine Aufgabe:
Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2. [/mm]
Meine Idee:
Sei f:R->R , mit f(x)=lnx und weiterhin g:R->R= [mm] (f(x))^2. [/mm] Beide Funktionen sind also stetig und diffbar.
Wir erhalten dann: [mm] g'(x)=[f^2(x)]'=2f(x)*f(x)', [/mm] wobei [mm] f(x)'=\frac{1}{x} [/mm] (1)
Nun sei ein Intervall I=[n,n+1]
[mm] \Rightarrow^{MWS} \exists \; \xi_n \in(n,n+1) [/mm] mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=g'(\xi_n)(n+1-n)=g'(\xi_n)=
[/mm]
[mm] =^{(1)}2f(\xi_n)*f(\xi_n)'= 2ln(\xi_n)*\frac{1}{\xi_n}=\frac{\frac{2}{\xi_n}}{\frac{1}{ln\xi_n}} [/mm] =
[mm] =^{l'Hospital(1)}\frac{(\frac{2}{\xi_n})'}{(\frac{1}{ln\xi_n})'}=\frac{\frac{-1}{\xi_n^2}}{\frac{-1}{ln^2\xi_n}}=\frac{ln^2\xi_n}{\xi_n^2}=^{l'Hospital (2)}\frac{2ln\xi_n*\frac{1}{\xi_n}}{2\xi_n}=\frac{ln\xi_n}{\xi_n^2}=^{l'hospital (3)}\frac{\frac{1}{\xi_n}}{2\xi_n}=\frac{1}{2\xi_n^2}=0, [/mm] wenn [mm] n\to\infty
[/mm]
Es folgt daher:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2= [/mm] 0
L'Hospital (1): da sowohl [mm] 2f(\xi_n)=\frac{2}{\xi_n} [/mm] als auch [mm] f(\xi_n)'=\frac{1}{ln\xi_n} [/mm] gegen 0 konvergieren, wenn n gegen [mm] \infty [/mm] strebt, dürfen wir l'Hospital anwenden.
l'Hospital (2): [mm] g(\xi_n)=ln^2\xi_n \to\infty, [/mm] wenn [mm] n\to\infty [/mm] und die Funktion: [mm] e^{2f(\xi_n)}=e^{2ln\xi_n}=\xi_n^2 [/mm] ist stetig und diffbar(Kettenregel) und divergiert gegen [mm] +\infty, [/mm] wenn [mm] n\to\infty. [/mm] Wir dürfen daher L'Hospital anwenden.
l'Hospital (3): [mm] f(\xi_n)=ln\xi_n\to\infty, [/mm] wenn [mm] n\to\infty [/mm] und wie oben [mm] e^{2f(\xi_n)}\to\infty, [/mm] wenn [mm] n\to\infty, [/mm] daher dürfen wir wieder L'Hospital anwenden.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich mich verrechnet habe, oder irgendwas einfach Falsches gemacht, benutzt habe?
Vielen Dank.
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Arraneo,
erstmal kurz zu einem kleinen Fehler:
> Heya,
>
> Hier ist eine Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2.[/mm]
>
> Meine Idee:
>
> Sei f:R->R , mit f(x)=lnx ...
bist Du sicher, dass Du $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] schreiben solltest? Was ist denn
bspw. [mm] $\ln(-3)$? [/mm] (Denke also nochmal über den Definitionsbereich von [mm] $\ln$
[/mm]
nach!)
> und weiterhin g:R->R= $ [mm] (f(x))^2. [/mm] $ Beide Funktionen sind also stetig und
> diffbar.
Es reicht, die Diff'barkeit zu erwähnen - Diff'barkeit impliziert Stetigkeit. Zur
Notation:
> g:R->R= $ [mm] (f(x))^2
[/mm]
Da musst Du schon schreiben
$$g [mm] \colon \underbrace{D_g}_{\text{zu korrigierender Definitionsbereich, s.o.}} \to \IR \text{ \red{\;mit\;}} \red{g(x)=}(f(x))^2$$
[/mm]
Und zur Aufgabe direkt (ich habe zu wenig Zeit, um Deine Lösung zu
kontrollieren, aber Du kannst ja gucken, ob Du das, was ich sage, dort
wiederfindest):
Betrachten wir die Funktion [mm] $h(x):=\ln^2(x+1)-\ln^2(x)$ [/mm] (mit [mm] $\ln^2(x):=(\ln(x))^2$). [/mm]
Dann gibt es (für jedes $x > [mm] 0\,$) [/mm] ein [mm] $\xi \in (x,\,x+1)$ [/mm] (man beachte, dass
[mm] $h\,$ [/mm] auf $[x,x+1]$ sicher stetig ist, weil [mm] $h\,$ [/mm] dort insbesondere diff'bar ist;
insbesondere ist also auch [mm] $h\,$ [/mm] auf [mm] $(x,\,x+1)$ [/mm] diff'bar! Bemerkung: Die
Differenzierbarkeit von [mm] $h_{|[x,x+1]}$ [/mm] besagt insbesondere, dass
[mm] $h_{|[x,x+1]}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x\,$ [/mm] rechtsseitig und an der Stelle [mm] $x+1\,$
[/mm]
linksseitig diff'bar ist!)
[mm] $$\frac{\ln^2(x+1)-\ln^2(x)}{(x+1)-x}=(\ln^2)\,'(\xi)\,.$$
[/mm]
Aus [mm] $(\ln^2)\,'(x)=2*\ln(x)*\frac{1}{x}=\frac{2*\ln(x)}{x}\,$ [/mm] kann man dann folgern, was [mm] $\lim_{x \to \infty} (\ln^2(x+1)-\ln^2(x))$ [/mm] sein muss.
Da bekanntlich [mm] $\lim_{D_k \ni x \to \infty} k(x)=\lim_{\IN \ni n \to \infty}k(n)$ [/mm] gilt, wenn der Grenzwert linkerhand für eine Funktion
$k [mm] \colon D_k \to \IR$ [/mm] mit [mm] $\IN \subseteq D_k$ [/mm] existiert, folgt dann auch, was [mm] $\lim_{\IN \ni n \to \infty} (\ln^2(n+1)-\ln^2(n))$ [/mm] sein muss.
Und ich glaube, im Wesentlichen ist das auch Dein Vorgehen. Ich kann mir das
eventuell heute im Laufe des Tages nochmal genauer angucken, aber nun
muss ich gleich weg.
P.S. Und ich glaube, Du hast [mm] $\lim_{x \to \infty} \frac{2\ln(x)}{x}$ [/mm] mit de
L'Hospital berechnet - das passt auch, und da sollte $=0$ rauskommen.
P.P.S.
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=g'(\xi_n)(n+1-n)=g'(\xi_n)=\ldots [/mm] $
Du hast nach dem ersten Gleichheitszeichen den "LIMES" verloren. Denke dran,
das zu korrigieren und dann richtig aufzuschreiben (so grob drübergeguckt
sieht das ansonsten erstmal okay aus, aber wie gesagt: Später schau' ich mir
das nochmal an, wenn es bis dahin niemand anderes getan hat...)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marcel |
So, hallo nochmal,
> Heya,
>
> Hier ist eine Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes :
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2.[/mm]
>
> Meine Idee:
>
> Sei f:R->R , mit f(x)=lnx
wie gesagt: denke über den Definitionsbereich von [mm] $\ln$ [/mm] nach!
> und weiterhin g:R->R= [mm](f(x))^2.[/mm]
> Beide Funktionen sind also stetig und diffbar.
Auch hier: Der Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] ist "kleiner" zu wählen.
Insbesondere solltest Du auch sagen, wieso [mm] $g\,$ [/mm] (stetig und) diff'bar ist
(zum Beispiel "Verkettungen diff'barer Funktionen sind diff'bar" oder aber
"Produkte diff'barer Funktionen sind diff'bar, unter Beachtung von [mm] $g=f*f\,.$")
[/mm]
> Wir erhalten dann: [mm]g'(x)=[f^2(x)]'=2f(x)*f(x)',[/mm] wobei
> [mm]f(x)'=\frac{1}{x}[/mm] (1)
Hier darfst Du ruhig auch [mm] $f\,'(x)=1/x$ [/mm] hinschreiben und benutzen!
> Nun sei ein Intervall I=[n,n+1]
Besser: [mm] $I_n:=[n,\,n+1]$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Aber das ist schon okay, nur
eine kleine Formalität.
> [mm]\Rightarrow^{MWS} \exists \; \xi_n \in(n,n+1)[/mm] mit:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=g'(\xi_n)(n+1-n)=g'(\xi_n)=[/mm]
>
> [mm]=^{(1)}2f(\xi_n)*f(\xi_n)'= 2ln(\xi_n)*\frac{1}{\xi_n}=\frac{\frac{2}{\xi_n}}{\frac{1}{ln\xi_n}}[/mm]
Du kannst anstatt $=^{(1)}$ auch [mm] $\stackrel{(1)}{=}$ [/mm] schreiben (einfach mal mit der Maus
drüberfahren oder anklicken) - also nur ein "Latex-Tipp". Ansonsten hast
Du, wie bereits gesagt, den [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] unterwegs liegen gelassen;
ich korrigiere das nun nicht, ich traue Dir zu, dass Du das auch alleine
schaffst!
> [mm]=^{l'Hospital(1)}\frac{(\frac{2}{\xi_n})'}{(\frac{1}{ln\xi_n})'}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eigentlich darfst Du das so nicht schreiben, bzw. nur mit etwas
Magenschmerzen. Ich würde Dir als Korrektor das nicht als Fehler
markieren, aber man schreibt für bspw. $f(x)=x^2$ ja nun auch nicht
$(1)^2\;'=2*1\,,$ wenn man $f\,'(1)=2*1=2$ meint. Man könnte das etwa
mit dieser Notation $\left.(x^2)\,'\right|_{x=1}=\left.2*x\right|_{x=1}=2*1=2$ oder mit $\left.\frac{d}{dx}x^2\right|_{x=1}=\left.2*x\right|_{x=1}$
$=2*1=2$ notieren. Oder Du schreibst halt bei $l'\,Hospital$ $(1)\,$ nicht nur, warum Du
de L'Hospital anwenden darfst, sondern was auch mit de l'Hospital folgt.
Inhaltlich stimmt das aber alles, formal ist das nun eine Art "eigene Notation"
von Dir!
> [mm]=\frac{\frac{-1}{\xi_n^2}}{\frac{-1}{ln^2\xi_n}}=[/mm]
Ist hier nicht irgendwo eine 2 verlorengegangen? Außerdem:
[mm] $$\frac{(2/x)'}{(1/\ln(x))'}=\frac{-2/x^2}{\frac{-1}{x*\ln^2(x)}}=\frac{2*\ln^2(x)}{x}\,.$$
[/mm]
Es ist doch nicht [mm] $(1/\ln(x))'=-1/\ln^2(x)\,,$ [/mm] sondern [mm] $=\;-\;\frac{1}{x*\ln^2(x)}\,.$ [/mm] (Kettenregel!)
> [mm]\frac{ln^2\xi_n}{\xi_n^2}=^{l'Hospital (2)}\frac{2ln\xi_n*\frac{1}{\xi_n}}{2\xi_n}=\frac{ln\xi_n}{\xi_n^2}=^{l'hospital (3)}\frac{\frac{1}{\xi_n}}{2\xi_n}=\frac{1}{2\xi_n^2}=0,[/mm]
> wenn [mm]n\to\infty[/mm]
Korrigiere das lieber, etwa mit dem hier (einmaliges Anwenden von de l'Hospital
nach dem ersten Gleichheitszeichen):
[mm] $$\lim_{x \to \infty} 2*\frac{\ln(x)}{x}=\red{2*\lim_{x \to \infty}\frac{(1/x)}{1}}=2*\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0\,.$$
[/mm]
(Edit: Die nun rotmarkierte Stelle habe ich korrigiert - das hatte ich
vorher zwar hier nicht falsch, aber didaktisch doch unklug als
[mm] $$2*\frac{\lim_{x \to \infty}(1/x)}{\lim_{x \to \infty}1}$$
[/mm]
geschrieben. Das ist didaktisch unklug, weil es suggerieren könnte, dass bei
de l'Hospital sowas wie
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x \to \infty}f\,'(x)}{\lim_{x \to \infty}g\,'(x)}$$
[/mm]
unter gewissen Voraussetzungen benutzt wird; aber bei de l'Hospital steht
da ERSTMAL i.a. "nur" die Gleichheit
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{f\,'(x)}{g\,'(x)}\,.$$
[/mm]
Man beachte diese "didaktische" Korrektur.)
Willst Du's nun nochmal aufschreiben, oder bekommst Du das nun alleine
hin?
Gruß,
Marcel
> Es folgt daher:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2=[/mm]
> 0
>
>
> L'Hospital (1): da sowohl [mm]2f(\xi_n)=\frac{2}{\xi_n}[/mm] als
> auch [mm]f(\xi_n)'=\frac{1}{ln\xi_n}[/mm] gegen 0 konvergieren, wenn
> n gegen [mm]\infty[/mm] strebt, dürfen wir l'Hospital anwenden.
>
> l'Hospital (2): [mm]g(\xi_n)=ln^2\xi_n \to\infty,[/mm] wenn
> [mm]n\to\infty[/mm] und die Funktion:
> [mm]e^{2f(\xi_n)}=e^{2ln\xi_n}=\xi_n^2[/mm] ist stetig und
> diffbar(Kettenregel) und divergiert gegen [mm]+\infty,[/mm] wenn
> [mm]n\to\infty.[/mm] Wir dürfen daher L'Hospital anwenden.
>
> l'Hospital (3): [mm]f(\xi_n)=ln\xi_n\to\infty,[/mm] wenn [mm]n\to\infty[/mm]
> und wie oben [mm]e^{2f(\xi_n)}\to\infty,[/mm] wenn [mm]n\to\infty,[/mm] daher
> dürfen wir wieder L'Hospital anwenden.
>
>
> Könnt ihr mir bitte sagen, ob ich mich verrechnet habe,
> oder irgendwas einfach Falsches gemacht, benutzt habe?
>
> Vielen Dank.
>
> arraneo
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Mo 14.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel!
vielen Dank für die ausführliche Antwort, sorry dass es länger gedauert hat.
Also:
Sei [mm] f:(0,\infty)\toR, [/mm] mit f(x)=lnx
und [mm] g:(0,\infty)\toR, [/mm] mit [mm] g(x)=f^2(x)
[/mm]
Da die Verkettung diff-barer Funktionen wieder diff-bar sind, sind f und g auch diff-bar und somit auch stetig.(unter Beachtung von g=f*f)
Wir erhalten dann: [mm] g(x)'=(f^2(x))'=2f(x)*f(x)'=2f(x)*\frac{1}{x} [/mm] .
Sei nun ein Intervall [mm] I_n:=[n,n+1] [/mm] mit [mm] n\inN
[/mm]
[mm] \stackrel{MWS}{\Rightarrow}\exists \; \xi_n\in(n,n+1) [/mm] mit:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=g'(\xi_n)(n+1-n)=g'(\xi_n)\stackrel{(1)}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}2f(\xi_n)*\frac{1}{\xi_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{\xi_n}}{\frac{1}{ln\xi_n}}=
[/mm]
[mm] \stackrel{(2)L'H}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{-2}{\xi_n^2}}{\frac{-1}{\xi_n*ln^2\xi_n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2*\xi_n*ln^2\xi_n}{\xi_n}=2\limes_{n\rightarrow\infty}ln^2\xi_n=
[/mm]
[mm] \stackrel{(3)L'H}{=}2*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2ln\xi_n}{\xi_n}=4\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{ln\xi_n}{\xi_n}=
[/mm]
[mm] \stackrel{(4)L'H}{=}4*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\xi_n}*1=4*\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\xi_n}=0
[/mm]
Daraus folgt, dass:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2=0. [/mm]
Die (1), (2), (3) und (4) schreibe ich jetzt nicht mehr auf, wobei vielleicht könntest du mir erklären wie ich am besten das hinschreiben soll. Dass mit dem [mm] \frac{d}{dx} [/mm] ist mir nicht so ganz deutlich. .
Sonst so, ist alles ok? Ich hoffe dies Mal habe ich mich nicht mehr verrechnet und so.
Was du geschrieben hast, wegen der Ableitungen stimme ich dir zu,aber ich weiß nämlich nicht wirklich wie ich das richtig schreiben sollte, ohne dass es einmal x da steht und sonst [mm] \xi_n.. [/mm]
vielen Dank!.
Arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 14.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
> Hey Marcel!
>
> vielen Dank für die ausführliche Antwort, sorry dass es
> länger gedauert hat.
>
> Also:
>
> Sei [mm]f:(0,\infty)\toR,[/mm] mit f(x)=lnx
> und [mm]g:(0,\infty)\toR,[/mm] mit [mm]g(x)=f^2(x)[/mm]
das sieht besser aus - da Du zwei Funktionen (Mehrzahl) hast, schreibt man eher
"Seien..." - aber das schreiben sogar Professoren hier genauso wie Du.
> Da die Verkettung diff-barer Funktionen wieder diff-bar
> sind, sind f und g auch diff-bar und somit auch
> stetig.(unter Beachtung von g=f*f)
Na, wenn Du mit Verkettung argumentierst, musst Du begründen oder wenigstens
erwähnen, dass auch $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] diff'bar ist. Was ich meinte, ist: Oben kannst Du
auch einfach sagen,dass wegen [mm] $g=f*f\,$ [/mm] und der Diff'barkeit von [mm] $f\,$ [/mm] dann [mm] $g\,$ [/mm] als
Produkt diff'barer Funktionen diff'bar ist. (Du hast das irgendwie vermischt oder nicht
ganz gesehen, dass ich zwei Begründungen, warum [mm] $g\,$ [/mm] diff'bar ist, hingeschrieben
hatte.) Aber an so Kleinigkeiten wollen wir uns nun nicht aufhalten, auch, wenn sie
natürlich nicht unwesentlich sind...
> Wir erhalten dann:
> [mm]g(x)'=(f^2(x))'=2f(x)*f(x)'=2f(x)*\frac{1}{x}[/mm] .
Dann schreib' doch [mm] $g\,'(x)=\frac{2\ln(x)}{x}$ [/mm] auch noch hin (für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt das).
Warum "so halb konkret", wenn Du es auch ganz sein kannst?
Nebenbei: Ich weiß, dass oft für die Ableitung "der Funktion [mm] $f(x)\,$" [/mm] (eigentlich heißt
die Funktion ja [mm] $f\,,$ [/mm] und [mm] $f(x)\,$ [/mm] ist eigentlich die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] ausgewertet an der
Stelle [mm] $x\,$) [/mm] auch [mm] $(f(x))\,'$ [/mm] geschrieben wird - das macht auch oft Sinn, wenn man den
Funktionsterm [mm] $f(x)\,$ [/mm] "in gewisser Weise" konkret gegeben hat. Aber sinnvoller ist es
wirklich: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist, dann heißt die Ableitung ja [mm] $f\,'\,.$ [/mm] Mit [mm] $f(x_0)\,$ [/mm]
(hier hebe ich mit dem Index [mm] $0\,$ [/mm] nur hervor, dass [mm] $x_0$ [/mm] "fest" sein soll - und nicht, wie
es MEIST mit [mm] $x\,$ [/mm] getan wird, als Variable betrachtet wird - [mm] $x_0$ [/mm] ist bei solchen
Notationen sowas wie ein Parameter, und [mm] $x\,$ [/mm] eher sowas wie eine Variable) meint
man dann [mm] $f\,$ [/mm] ausgewertet an der Stelle [mm] $x_0\,,$ [/mm] und mit [mm] $f\,'(x_0)$ [/mm] ist dann die
Ableitung ausgewertet an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] gemeint - das passt dann rein zu den
Notationen mit dem Funktionssymbol [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $f\,'\,.$ [/mm] Von daher schreibe ich auch
immer [mm] $f\,'(x)\,,$ [/mm] und nicht wie Du [mm] $(f(x))\,'\,,$ [/mm] meine Notation ist dann didaktisch besser,
Deine wird erst in konkreten Fällen praktisch - und auch da nicht immer. So ist bspw.
[mm] $\sin\,'(x)=\cos(x)$ [/mm] besser als [mm] $(\sin(x))\,'=\cos(x)\,,$ [/mm] aber bei Polynomfunktionen wird
Deine Notation praktisch: Damit kann man dann einfach etwa [mm] $(x^3+2*x^2+1)\,'=3x^2+4x$ [/mm]
schreiben... Aber das auch nur "nebenbei".
> Sei nun ein Intervall [mm]I_n:=[n,n+1][/mm] mit [mm]n\inN[/mm]
>
> [mm]\stackrel{MWS}{\Rightarrow}\exists \; \xi_n\in(n,n+1)[/mm] mit:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=g'(\xi_n)(n+1-n)=g'(\xi_n)\stackrel{(1)}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}2f(\xi_n)*\frac{1}{\xi_n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{2}{\xi_n}}{\frac{1}{ln\xi_n}}=[/mm]
>
> [mm]\stackrel{(2)L'H}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{-2}{\xi_n^2}}{\frac{-1}{\xi_n*ln^2\xi_n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2*\xi_n*ln^2\xi_n}{\xi_n}[/mm]
Hier kann ich mit der Kontrolle aufhören, denn da hast Du Dich verrechnet. Ich hatte es
auch eigentlich schonmal vorgerechnet, schau' nochmal nach. Nach dem letzten
Gleichheitszeichen müßte
[mm] $$=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2*\red{\xi_n}*ln^2\xi_n}{{\xi_n}^{\red{2}}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2*ln^2\xi_n}{\xi_n}$$
[/mm]
stehen!
(Ich hatte ja
$ [mm] \frac{(2/x)'}{(1/\ln(x))'}=\frac{-2/x^2}{\frac{-1}{x\cdot{}\ln^2(x)}}=\frac{2\cdot{}\ln^2(x)}{x}\,. [/mm] $
vorgerechnet.)
P.S. Nach wie vor: Warum wendest Du nicht de l'Hospital auf
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x}$$
[/mm]
an? Es erfüllt doch "die Zählerfunktion" [mm] $\ln(x) \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty$ [/mm] und natürlich erfüllt
auch "die Nennerfunktion" $x [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,.$ [/mm] (De l'Hospital darfst Du auch
im Falle [mm] "$\infty/\infty$" [/mm] (unter entsprechenden Zusatzvoraussetzungen, die im Satz ja
formuliert sind) verwenden!) Und [mm] $\ln\,'(x)=1/x$ [/mm] und [mm] $(x)\,'=1\,$ [/mm] kannst Du dann
verwenden.
Ich glaube nicht, dass das Umschreiben
[mm] $$\ln(x)/x=\frac{1/x}{1/\ln(x)}$$
[/mm]
mit darauffolgenden Mehrfachanwendungen von de l'Hospital zielführend ist - das
habe ich aber auch nicht nachgerechnet, daher kann ich mich täuschen - aber selbst,
wenn es zielführend wäre, die andere Vorgehensweise ist doch nun so banal, dass
man dafür keine Alternativen braucht. (Wie will ich de l'Hospital noch weniger als 1-Mal
anwenden?)
Wenn Du aber eine alternative willst: Wegen ![[]](/images/popup.gif) Satz 5.16.1 (klick!) gilt sicher für $x > [mm] 1\,$
[/mm]
$$0 < [mm] \ln(x) [/mm] < [mm] 2*\sqrt{x}-2\,,$$
[/mm]
und nun dividere diese Ungleichung durch $x > 1 > [mm] 0\,$ [/mm] und lasse $x [mm] \to \infty$ [/mm] laufen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 14.01.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey Marcel!
vielen Dank für die ausführliche Antwort! Bis du mir sagst, dass es keine Korrekturen mehr gibt, will ich eigentlich nicht aufhören, das hinzuschreiben, denn ich hab ja so viel in keiner Vorlesung gelernt, wie hier ^^
Also:
>
> Seien [mm]f:(0,\infty)\toR,[/mm] mit f(x)=lnx
> und [mm]g:(0,\infty)\toR,[/mm] mit [mm]g(x)=f^2(x)[/mm]
>
> Da die Verkettung diff-barer Funktionen wieder diff-bar
> sind, sind f und g auch diff-bar und somit auch
> stetig.
(*hier muss ich dann nichts mehr schreiben, denn einen Argument sollte schon reichen, oder? )
>
> Wir erhalten dann:
[mm] g'(x)=(f^2(x))'=2f(x)*f'(x)=\frac{2ln(x)}{x} [/mm] .
> Sei nun ein Intervall [mm]I_n:=[n,n+1][/mm] mit [mm] n\in [/mm] N
>
> [mm]\stackrel{MWS}{\Rightarrow}\exists \; \xi_n\in(n,n+1)[/mm] mit:
>
> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g'(\xi_n)(n+1-n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g'(\xi_n)\stackrel{(1)}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2ln(\xi_n)}{\xi_n}=2\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{ln\xi_n}{\xi_n}
[/mm]
[mm] \stackrel{(2)L'H}{=}2\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\xi_n}*1=0
[/mm]
(2)L'Hospital: Da sowohl f(x) als auch x [mm] \to\infty [/mm] , wenn [mm] x\to\infty, [/mm] dürfen wir die Regel von L'Hospital anwenden und erhalten wir: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{ln(x)}{x}= \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0
[/mm]
>
> Daraus folgt, dass:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2=0.[/mm]
Ich hoffe , ich gehe nicht auf deine Nerven :)
Ich weiß auch nicht, warum ich mich so kompliziert habe.. ist es nun aber richtig?
vielen Dank!.
Arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Di 15.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo arraneo,
> Hey Marcel!
>
> vielen Dank für die ausführliche Antwort! Bis du mir
> sagst, dass es keine Korrekturen mehr gibt, will ich
> eigentlich nicht aufhören, das hinzuschreiben, denn ich
> hab ja so viel in keiner Vorlesung gelernt, wie hier ^^
> Also:
> >
> > Seien [mm]f:(0,\infty)\toR,[/mm] mit f(x)=lnx
> > und [mm]g:(0,\infty)\toR,[/mm] mit [mm]g(x)=f^2(x)[/mm]
> >
> > Da die Verkettung diff-barer Funktionen wieder diff-bar
> > sind, sind f und g auch diff-bar und somit auch
> > stetig.
> (*hier muss ich dann nichts mehr schreiben, denn einen
> Argument sollte schon reichen, oder? )
mir reicht es so vollkommen aus, zumal ihr sicher auch schon vorher Aufgaben
mit solchen Argumenten behandelt habt. 
> > Wir erhalten dann:
> [mm]g'(x)=(f^2(x))'=2f(x)*f'(x)=\frac{2ln(x)}{x}[/mm] .
>
> > Sei nun ein Intervall [mm]I_n:=[n,n+1][/mm] mit [mm]n\in[/mm] N
> >
> > [mm]\stackrel{MWS}{\Rightarrow}\exists \; \xi_n\in(n,n+1)[/mm] mit:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g'(\xi_n)(n+1-n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g'(\xi_n)\stackrel{(1)}{=}\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2ln(\xi_n)}{\xi_n}=2\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{ln\xi_n}{\xi_n}[/mm]
>
> [mm]\stackrel{(2)L'H}{=}2\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\xi_n}*1=0[/mm]
>
> (2)L'Hospital: Da sowohl f(x) als auch x [mm]\to\infty[/mm] , wenn
> [mm]x\to\infty,[/mm] dürfen wir die Regel von L'Hospital anwenden
> und
somit
> erhalten wir:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{ln(x)}{x}= \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt, dass:
> >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}g(n+1)-g(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(ln(n+1))^2-(ln(n))^2=0.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe , ich gehe nicht auf deine Nerven :)
Keinesfalls - ich hoffe umgekehrt, dass ich nicht zu viel nerve (bin ja schon
sehr(!) pingelig, aber ich finde, gerade am Anfang vom Studium sollte man das
sein, denn das zahlt sich später aus).
> Ich weiß auch nicht, warum ich mich so kompliziert habe..
Du meinst "kompliziert angestellt habe"? Naja, manchmal erscheinen
einem die einfachen Lösungen dann zu einfach - denke ich. Aber solange Du
von Deiner Lösung überzeugt bist und auch der Meinung bist, dass Du
anderen sie lückenlos vorstellen kannst, ist das okay. Lieber Du denkst
selbstständig und lernst dann aus Deinen gemachten Fehlern, als nur auf eine
Musterlösung zu warten und zu denken "War ja gar nicht so schwer...". Auch,
wenn dem dann so ist, wird sich da bei vielen nichts einprägen, weil einfach
das selbstständige Bearbeiten und "das Wahrnehmen/Erkennen eigener Fehler"
doch viel zum Mathematikverständnis beiträgt.
> ist es nun aber richtig?
Soweit ich das zu so später Stunde nun noch richtig beurteilen kann: Ja. Aber
wenn ich da was (gravierendes) übersehen haben sollte, wird schon jemand
anderes "meckern"  - ich vertraue auf qualifizierte Mitleser. Das ist ja auch
das gute im Matheraum.
> vielen Dank!.
Gerne!
Grüße,
Marcel
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