Mittelwertsatz Integralrechng < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | Sei n element [mm] \IN [/mm] und [mm] a_{1,2,...,n} [/mm] element [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, dass die Gleichung:
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}cos(kx)=0
[/mm]
Im Intervall [mm] (0,\pi) [/mm] mindestens eine lösung hat. |
Ich weiß leider nicht wie ich den Mittelwertsatz der Integralrechnung auf diese Gleichung beziehen kann.
Kann mir jmnd helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei n element [mm]\IN[/mm] und [mm]a_{1,2,...,n}[/mm] element [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie
> mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, dass
> die Gleichung:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}a_{k}cos(kx)=0[/mm]
> Im Intervall [mm](0,\pi)[/mm] mindestens eine lösung hat.
> Ich weiß leider nicht wie ich den Mittelwertsatz der
> Integralrechnung auf diese Gleichung beziehen kann.
> Kann mir jmnd helfen?
Ich vermute, dass der Mittelwertsatz der Differentialrechnung bemüht werden soll.
Setze [mm] $f(x):=\summe_{k=1}^{n}\bruch{a_{k}}{k}\sin(kx)$
[/mm]
Dann ist f differenzierbar auf [mm] \IR, [/mm] f(0)=0 und [mm] f(\pi)=0.
[/mm]
Was liefert nun der MWS der Dif.-Rechnung ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
Also ich kenne den MW satz der Intergralrechnung. Nur hab ich keine Idee auf welche Art der hier angewendet werden kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich kenne den MW satz der Intergralrechnung. Nur hab
> ich keine Idee auf welche Art der hier angewendet werden
> kann
Was soll das ?
Ich glaube fest, dass einer von Euch, Du oder der Aufgabensteller, sich verschrieben hat, und der MWS der Differentialrechnung gemeint ist.
Wie es damit geht, hab ich Dir fast vollständig vorgemacht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
Also gibt es den MW satz der Integralrechnung nicht? Oder könnte man ihn hier nur nicht anwenden?
LG Illi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 09.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also gibt es den MW satz der Integralrechnung nicht?
Natürlich gibt es den !
> Oder
> könnte man ihn hier nur nicht anwenden?
Möglicherweise kann man ihn hier anwenden. Ich hab mir bislang nur noch keine Gedanken darüger gemacht, wie .
FRED
> LG Illi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 09.01.2014 | | Autor: | Illihide |
Ok. Also ist es leichter zu lösen in dem man es mit dem MW satz der Differentialrechnung löst bzw es darauf bezieht.?
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Hallo,
> Ok. Also ist es leichter zu lösen in dem man es mit dem MW
> satz der Differentialrechnung löst bzw es darauf bezieht.?
Ja sicher, liest du was man dir schreibt??
Fred hat alles vorgekaut.
Führe das zuende ..
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 17.01.2014 | | Autor: | fred97 |
So, nun machen wir das doch mit dem MWS der Integralrechnung:
Sei $g(x):= [mm] \summe_{k=1}^{n}a_{k}cos(kx)$
[/mm]
Dann ist
(*) [mm] $\integral_{0}^{\pi}{g(x) dx}=0$
[/mm]
Nach dem MWS der Integralrechnung gibt es ein [mm] $\xi \in [/mm] (0, [mm] \pi)$ [/mm] mit
[mm] $\integral_{0}^{\pi}{g(x) dx}= \pi *g(\xi)$.
[/mm]
Aus (*) folgt [mm] $g(\xi)=0$.
[/mm]
Noch eine Bemerkung: für eine stetige Funktion $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] ist der MWS der Integralrechnung nichts anderes als der MWS der Differentialrechnung.
Ist nämlich $F:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] def. durch [mm] $F(x):=\integral_{a}^{x}{f(t) dt},$ [/mm] so ist F eine Stammfunktion von f auf [a,b].
Nach dem MWS der Differentialrechnung ex. ein [mm] $\xi \in [/mm] (a,b)$ mit der Eigenschaft
[mm] $F(b)-F(a)=F'(\xi)*(b-a)=f(\xi)*(b-a)$.
[/mm]
Nun ist aber
[mm] $F(b)-F(a)=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}$,
[/mm]
also ist
[mm] $\integral_{a}^{b}{f(t) dt}=f(\xi)*(b-a)$
[/mm]
und das ist der MWS der Integralrechnung.
FRED
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