Mittelwertsatz im R^n < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Do 29.06.2006 | | Autor: | Mamahai |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^h [/mm] -> R eine Funktion, so dass f(t*x) = t * f(x) für alle reellen Zahlen t und alle Vektoren x aus [mm] \IR^n. [/mm] f ist an allen Vektoren total differenzierbar.
Zu zeigen: Für alle y aus [mm] \IR^n: [/mm] f(y)=< grad f(y), y >, wobei < , > das euklid. Skalarprodukt ist. |
Ich habe den Beweis dieser Aufgabe nur leider verstehe ich einen Schritt nicht. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen.
Beweis:
Sei y aus [mm] \IR^n [/mm] beliebig.
Falls y=0, ist es klar.
Also sei y ungleich Null.
Setze x1=0 und x2 = y.
Nach MWS existiert ein t aus (0,1):
f(y)-f(0) = < grad f(t*y), y-0>
= F(y)= < gradf(t*y),y>
Bleibt zu zeigen:
grad f (t*y) = grad f(y)
Es gilt f(t*x) = t* f(x)
[Und nun kommt mein Problem:]
(mit part. Abl. in x-Richtung)=>
Für alle i=1,...,n : t*( Df/D xi (t*x)) = t* (Df/D xi (x)) ???
=> (Df/Dxi (t*x)) = (Df/D xi (x))
=> grad f(t*x) = grad f(x)
=> Behauptung.
Die gekennzeichnete Umformung versteh ich nicht.Vielleicht kann mir die jemand erklären.
Danke im Voraus.
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Hallo,
kommt dieser Beweis aus einer Musterlösung/ einem Buch, oder doch eher von einem Kommilitonen.... ich finde ihn jedenfalls nicht sehr elegant und schwer zu verstehen, was aber auch daran liegen mag, dass du den formeleditor nicht benutzt hast....
wie dem auch sei, unter benutzung der kettenregel ist der beweis ein ein-zeiler:
[mm] $f(t\cdot x)=t\cdot [/mm] f(x), [mm] \forall [/mm] t,x$
leite beide seiten nach t ab (links brauchst du die kettenregel):
[mm] $\Rightarrow \; <\nabla [/mm] f(tx),x>=f(x)$
da t beliebig ist, setze t=1 und folgere
[mm] $<\nabla [/mm] f(x),x>=f(x)$
Ich denke, dieser beweis ist deutlich einfacher und auch eleganter.
Gruß
Matthias
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