Mittlere Wachstumsgeschwindig. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Durch die Funktion f mit [mm] f(t)=0,02t^2\cdot e^{-0,1\cdot t} [/mm] wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) nicht die Höhe, sondern die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr (zum Zeitpunkt t an). Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20cm.
Begründen Sie anhand des Graphen von f, dass die Fichte nach 20 Jahren weniger als 20 Meter hoch ist. |
Hallo,
In den Lösungen zu dieser Aufgabe
http://www.gbraemik.de/fvs/Q1-Mathe/Wachstum-Fichte.pdf
findet man auf der zweiten Seite, dass die für die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit w=0,65m/J herausbekommen. Ich komme aber irgendwie nicht auf diese Zahl. Könnt ihr vielleicht erklären, wie man auf diese Zahl kommt?
Es gilt doch für die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit: [mm] w=\bruch{f(20)-f(0)}{20-20}=\bruch{1,08-0}{20-0}
[/mm]
das ist bei mir aber nicht w=0,65 :-//
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 13.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Du berechnest die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit, mit der Annahme, dass sie linear zunimmt. Dann ergibt sich das gesamte Wachstum in 20 Jahren als Fläche des Dreiecks (0/0), (20/0), (20/1,08). Zeichne das ein. Dann siehst Du dass diese Fläche kleiner ist als die unter dem Funktionsgraphen. In der Lösung ist auch angegeben, wie die mittlere Wachstumsrate geschätzt wurde: Im Bereich zwischen 0 und 20 werden die grauen Kästchen so umsortiert, dass sich ein Rechteck mit der gleichen Fläche ergibt. Die Höhe des Rechtecks ist dann die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit. Schau auch mal unter Mittelwert einer Funktion und Integral nach.
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Hallo,
danke für deine Hinweise. Für mich ist trotzdem noch nicht genau klar, wie die die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit abschätzen.
Heißt das, meine mittlere Wachstumsgeschwindigkeit könnte im Intervall [0.55; 0.65] liegen? Denn ganz so aus der Skizze erkenne ich nicht, dass man die grauen Kästchen umsortieren kann, und das dann die gleich Fläche ergibt. Da könnte ich doch w auch w=0,60 setzen, oder nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 14.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Das sehe ich genau so. Es ist ziemlich frech, einfach diesen Wert zu schreiben. Wie Du vorgehst ist es sinnvoll: eine obere und eine untere Grenze abschätzen.
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