Modellierung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 29.10.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
es soll das Wachstum eines Wassertropfens modelliert werden, der durch die Atmosphäre fällt und durch die Aufnahme von Luftfeuchte aus der Umgebung anwächst.
Man macht folgende Annahme: Der Tropfen ist kugelförmig. Sei Volumenzuwachs pro Zeitschritt ist proportional zu seiner aktuellen Oberfläche.
Wie lautet die DGL. jeweils für den Radius, für das Volumen und für die Oberfläche?
Ich habe das ganze folgendermaßen modelliert und wollte nur wissen, ob meine Annahme so richtig ist oder nicht.
Ich beginne mit dem Volumen.
Dieses ist also proportional zur Oberfläche.
Also gilt: [mm] V(\Delta t)\sim S(t)*\Delta [/mm] t
S(t) ist die aktuelle Oberfläche. Das [mm] \Delta [/mm] t brauche ich um eine Dgl. herzuleiten. Ich brauche noch einen Proportionalitätsfaktor. Volumen und Oberfläche hängen ja folgendermaßen zusammen.
[mm] V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t). [/mm] Also mit Proportinalitätsfaktor [mm] \bruch{1}{3}*r(t)
[/mm]
Deshalb gilt:
[mm] V(\Delta t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t)*\Delta [/mm] t
Nun die Dgl herleiten.
[mm] V(t+\Delta t)=V(t)+\bruch{1}{3}*r(t)*S(t)*\Delta [/mm] t
[mm] V(t+\Delta t)-V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t)*\Delta [/mm] t
[mm] \bruch{V(t+\Delta t)-V(t)}{\Delta t}=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t)
[/mm]
Nun noch den Limes bilden und man hat:
[mm] V(t)'=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t) \gdw [/mm] V(t)'=V(t)
Ist das so korrekt oder nicht?
Ich denke es hängt wirklich nur von dem Proportionalitätsfaktor ab. Der Rest ist dann ein Kinderspiel.
Danke!
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:20 Mi 29.10.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> es soll das Wachstum eines Wassertropfens modelliert
> werden, der durch die Atmosphäre fällt und durch die
> Aufnahme von Luftfeuchte aus der Umgebung anwächst.
>
> Man macht folgende Annahme: Der Tropfen ist kugelförmig.
> Sei Volumenzuwachs pro Zeitschritt ist proportional zu
> seiner aktuellen Oberfläche.
>
> Wie lautet die DGL. jeweils für den Radius, für das Volumen
> und für die Oberfläche?
>
> Ich habe das ganze folgendermaßen modelliert und wollte nur
> wissen, ob meine Annahme so richtig ist oder nicht.
>
> Ich beginne mit dem Volumen.
>
> Dieses ist also proportional zur Oberfläche.
>
> Also gilt: [mm]V(\Delta t)\sim S(t)*\Delta[/mm] t
Du meinst: [mm] $\Delta [/mm] V(t) [mm] \sim S(t)*\Delta [/mm] t$. Deine Schreibweise ist unüblich, das führt dann nämlich zu Verwirrung.
>
> S(t) ist die aktuelle Oberfläche. Das [mm]\Delta[/mm] t brauche ich
> um eine Dgl. herzuleiten. Ich brauche noch einen
> Proportionalitätsfaktor. Volumen und Oberfläche hängen ja
> folgendermaßen zusammen.
>
> [mm]V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t).[/mm] Also mit
> Proportinalitätsfaktor [mm]\bruch{1}{3}*r(t)[/mm]
Diese Verwirrung meine ich: weil du für zwei verschiedene DInge das gleiche Symbol benutzt, folgerst du, dass sie gleich sind.
>
> Deshalb gilt:
> [mm]V(\Delta t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t)*\Delta[/mm] t
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast lediglich:
[mm] V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t) \implies \Delta V(t) \sim S(t)*\Delta t = 3V(t)/r(t) * \Delta t [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 01.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
wie stell ich die Gleichung dann auf wenn nicht so wie ich gesagt habe. Das mit dem Delta t in der Klammer macht natürlich keinen Sinn. Das ist mir gar nicht aufgefallen. Bis jetzt weiß ich ja nur das die Volumenänderung zur Oberfläche proportional ist.
> [mm]V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t) \implies \Delta V(t) \sim S(t)*\Delta t = 3V(t)/r(t) * \Delta t [/mm].
Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich wüßte nicht wie ich die Gleichung sonst aufstellen sollte.
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 01.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> wie stell ich die Gleichung dann auf wenn nicht so wie ich
> gesagt habe. Das mit dem Delta t in der Klammer macht
> natürlich keinen Sinn. Das ist mir gar nicht aufgefallen.
> Bis jetzt weiß ich ja nur das die Volumenänderung zur
> Oberfläche proportional ist.
>
> > [mm]V(t)=\bruch{1}{3}*r(t)*S(t) \implies \Delta V(t) \sim S(t)*\Delta t = 3V(t)/r(t) * \Delta t [/mm].
>
>
>
> Aber wie mache ich jetzt weiter? Ich wüßte nicht wie ich
> die Gleichung sonst aufstellen sollte.
Radius, Volumen oder Oberfläche beschreiben eine Kugel jeweils vollständig. Du musst also alle Variablen bis auf eine ersetzen. Zum Beispiel: ersetze in der Gleichung oben r durch einen Ausdruck in V und du hast diue gewünschte DGL für V(t).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 So 02.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo nochmal,
ich habs jetzt mal folgendermaßen gemacht:
[mm] \Delta V(t)\approx S(t)*\Delta(t)
[/mm]
nun führe ich eine unbekannte Konstante c ein für die Proportionalität.
[mm] \Delta V(t)=c*S(t)*\Delta(t)
[/mm]
nun durch [mm] \Delta [/mm] t teilen und den Limes bilden:
[mm] \limes_{\Delta t\rightarrow 0}\bruch{\Delta V(t)}{\Delta(t)}=c*S(t)
[/mm]
[mm] V'(t)=c*S(t)=\bruch{c*V(t)}{r(t)}
[/mm]
Anders wüsste ich es jetzt nicht mehr.
Wie sollte ich hier jetzt den Radius ersetzen? Die Volumenänderung hängt ja direkt mit dem aktuellen Volumen und dem aktuellen Radius zusammen. Also kann ich doch hier den Radius nicht ersetzen. Ich kann die Volumenänderung auch durch die Oberfläche ausdrücken aber das ist ja schon die Gleichung vorher.
Ich habe also definitiv immer zwei Unbekannte, die beide von der Zeit abhängen.
Könnte mir bitte jamnd sagen, ob das nun so stimmt oder ob ich immer noch völlig falsch liege? Und vielleicht mal eine eigene Version angeben?
Ich muss das morgen abgeben. Hab zwar den Rest vom Blatt aber diese Aufgabe, obwohl sie mir am Anfang leicht vorkam entpuppt sich als nicht ganz trivial!
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal,
>
> ich habs jetzt mal folgendermaßen gemacht:
>
> [mm]\Delta V(t)\approx S(t)*\Delta(t)[/mm]
>
> nun führe ich eine unbekannte Konstante c ein für die
> Proportionalität.
>
> [mm]\Delta V(t)=c*S(t)*\Delta(t)[/mm]
>
> nun durch [mm]\Delta[/mm] t teilen und den Limes bilden:
>
> [mm]\limes_{\Delta t\rightarrow 0}\bruch{\Delta V(t)}{\Delta(t)}=c*S(t)[/mm]
>
> [mm]V'(t)=c*S(t)=\bruch{c*V(t)}{r(t)}[/mm]
>
> Anders wüsste ich es jetzt nicht mehr.
>
> Wie sollte ich hier jetzt den Radius ersetzen? Die
> Volumenänderung hängt ja direkt mit dem aktuellen Volumen
> und dem aktuellen Radius zusammen. Also kann ich doch hier
> den Radius nicht ersetzen. Ich kann die Volumenänderung
> auch durch die Oberfläche ausdrücken aber das ist ja schon
> die Gleichung vorher.
>
> Ich habe also definitiv immer zwei Unbekannte, die beide
> von der Zeit abhängen.
Das ist falsch. Radius und Volumen sind nicht voneinander unabhängig, nicht bei einer Kugel. Wie hängen sie denn da zusammen? Analoges gilt für Radius und Oberfläche - wie du übrigens selbst im deinem ersten Post schon schriebst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 02.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
wenn ich also den Radius in folgender Formel
[mm] \Delta V(t)=\bruch{3V(t)}{r(t)}*\Delta [/mm] t
durch einen Ausdruck in V ersetze, also durch den Ausdruck des Kugelvolumens nach dem Radius umgestellt, krieg ich folgende DGL. in V(t):
[mm] V(t)=\bruch{4}{3}*r(t)^{3}*\pi
[/mm]
[mm] r(t)=\wurzel[3]{\bruch{3V(t)}{4\pi}}
[/mm]
Das nun für r(t) in die oberste Formel eingesetzt ergibt:
[mm] \Delta V(t)=\bruch{3V(t)}{\wurzel[3]{\bruch{3V(t)}{4\pi}}}*\Delta [/mm] t
Daraus folgt dann nach Grenzwertbildung und ein wenig Umformung:
[mm] V'(t)=\bruch{12\pi}{\wurzel[3]{3}}*V(t)^{\bruch{2}{3}}
[/mm]
Ist das nun so richtig???
Wenn nicht, dann bin ich mit meinem Latein am Ende!
Gruß,
clwoe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> wenn ich also den Radius in folgender Formel
>
> [mm]\Delta V(t)=\bruch{3V(t)}{r(t)}*\Delta[/mm] t
Diese Formel ist nicht ganz richtig, denn linke und rechte Seite sind nicht gleich, sondern proportional.
> durch einen Ausdruck in V ersetze, also durch den Ausdruck
> des Kugelvolumens nach dem Radius umgestellt, krieg ich
> folgende DGL. in V(t):
>
> [mm]V(t)=\bruch{4}{3}*r(t)^{3}*\pi[/mm]
>
> [mm]r(t)=\wurzel[3]{\bruch{3V(t)}{4\pi}}[/mm]
> Das nun für r(t) in die oberste Formel eingesetzt ergibt:
>
> [mm]\Delta V(t)=\bruch{3V(t)}{\wurzel[3]{\bruch{3V(t)}{4\pi}}}*\Delta[/mm]
> t
>
> Daraus folgt dann nach Grenzwertbildung und ein wenig
> Umformung:
>
> [mm]V'(t)=\bruch{12\pi}{\wurzel[3]{3}}*V(t)^{\bruch{2}{3}}[/mm]
>
> Ist das nun so richtig???
Ja, bis auf den konstanten Faktor, denn aus [mm] $\wurzel[3]{4\pi}$ [/mm] wird im letzten Schritt plötzlich [mm] $4\pi$, [/mm] und den fehlenden, aber unbekannten Proportionalitätsfaktor. Also:
[mm] V'(t) \sim \wurzel[3]{36\pi} V(t)^{\bruch{2}{3}} [/mm]
oder
[mm] V'(t) = C V(t)^{\bruch{2}{3}} [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 02.11.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Die Sache scheint wirklich ziemlich kompliziert zu sein. Wie soll man sich das denn vorstellen?
Die Zeit misst man in Sekunden, die Oberfläche in Quadratzentimetern und das Volumen in Kubikzentimetern.
Mal angenommen, der Radius sei 1 cm. Dann ist das Volumen 4.1888 ccm, und die Oberfläche ist 12.57 qcm.
Der Proportionallitätsfaktor sei 0.1. Das hieße, dass nach einer weiteren Sekunde das Volumen 4.1888*1.257=5.265 ccm betragen soll.
Jetzt muss man daraus die neue Oberfläche berechnen und durch 10 dividieren (wegen Proportionalitätsfaktor 0.1), um den neuen Faktor für das neue Volumen zu vermitteln.
Mit einem Taschenrechner ist das schon aufwändig genug. Rein formelmäßig hätte ich da als neue Oberfläche raus:
[mm] \wurzel[3]{(0.4\pi)^{2}}*4\pi
[/mm]
Und das muss man nun durch 10 teilen, um den neuen Volumensfaktor rauszukriegen....
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