Modellierung Funktionen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Lambda |
Hallo!
Wir haben gerade das Thema Modellierung mit trigonometrischen Funktionen und normalerweise verstehe ich das auch. Nur mit dieser Aufgabe habe ich echte Probleme, da ich nicht einmal weiß, ob man das mit Modellirung herausfinden kann. Kann mir jemand helfen?
Die Aufgabe:
Aus vier gleichen Brettern (3 cm) soll eine oben offene Rinne hergestellt werden, so dass zwei ihrer Wände parallel sind. Wie ist der Winkel [mm] \alpha [/mm] zwischen den beiden anderen Wänden zu wählen, damit das Fassungsvermögen der Rinne möglichst groß wird?
Die Rinne besteht also aus zwei parallelen Geraden an deren Unterseiten ein Dreieck aus ebenfalls zwei Geraden ist.
Hilfe?
Danke!
Gruß, Lamda 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 28.02.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo!
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> Wir haben gerade das Thema Modellierung mit
> trigonometrischen Funktionen und normalerweise verstehe ich
> das auch. Nur mit dieser Aufgabe habe ich echte Probleme,
> da ich nicht einmal weiß, ob man das mit Modellirung
> herausfinden kann. Kann mir jemand helfen?
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> Die Aufgabe:
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> Aus vier gleichen Brettern (3 cm) soll eine oben offene
> Rinne hergestellt werden, so dass zwei ihrer Wände parallel
> sind. Wie ist der Winkel [mm]\alpha[/mm] zwischen den beiden anderen
> Wänden zu wählen, damit das Fassungsvermögen der Rinne
> möglichst groß wird?
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> Die Rinne besteht also aus zwei parallelen Geraden an deren
> Unterseiten ein Dreieck aus ebenfalls zwei Geraden ist.
>
> Hilfe?
Yep, so ist es.
>
> Danke!
>
> Gruß, Lamda
>
>
Und von diesem Dreieck suchst du jetzt den Winkel [mm] \alpha [/mm] an der Unterkante der Rinne, so dass der Flächeninhalt maximal wird.
Tipp: Es gilt: [mm] A=\bruch{g*h}{2}
[/mm]
und:
[mm] h²=(\bruch{g}{2})²+3²
[/mm]
sowie: [mm] tan(\bruch{\alpha}{2})=\bruch{\bruch{g}{2}}{h}.
[/mm]
Marius
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Hi, Lambda,
also wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Querschnitt Deiner Rinne ein gleichschenkliges Dreieck, das auf der Spitze steht, mit aufgesetztem Rechteck.
Die Querschnittsfläche soll demnach maximal werden.
Der Winkel an der Spitze ist [mm] \alpha; [/mm] für die weitere Rechnung erweist es sich als Vorteil, [mm] \bruch{\alpha}{2} [/mm] = [mm] \beta [/mm] zu setzen und die Hälfte der Grundlinie des Dreiecks x, die Höhe des Dreiecks h zu nennen.
Die Querschnittsfläche der Rinne ist dann:
F = 3*2x + [mm] 2*\bruch{1}{2}*x*h
[/mm]
Über die Definitionen der trig.Fkt am rechtwinklige Dreieck erhält man dann die Größen x und h in Abhängigkeit vom Winkel [mm] \beta:
[/mm]
x = [mm] 3*sin(\beta); [/mm] h = [mm] 3*cos(\beta)
[/mm]
Und das alles eingesetzt ergibt
[mm] F(\beta) [/mm] = [mm] 18*sin(\beta) [/mm] + [mm] 9*sin(\beta)*cos(\beta)
[/mm]
Und diese Funktion musst Du nun ableiten, die Ableitung =0 setzen und [mm] \beta [/mm] ausrechnen. Damit erhältst Du auch [mm] \alpha [/mm] = [mm] 2*\beta.
[/mm]
Denk' erst mal drüber nach!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Do 01.03.2007 | | Autor: | Lambda |
Hi! Danke für die Antwort!
Aber wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann ist [mm] \alpha [/mm] = 2 * [mm] \beta, [/mm] also [mm] \alpha [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ?
Heißt das dann, dass es egal ist welchen Winkel ich nehme, da die Bretter ja alle gleich sind?
Gruß, Lambda
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Hi, Lambda,
> Hi! Danke für die Antwort!
> Aber wenn ich das jetzt richtig verstehe, dann ist
> [mm]\alpha[/mm] = 2 * [mm]\beta,[/mm] also [mm]\alpha[/mm] = [mm]\alpha[/mm] ?
>
> Heißt das dann, dass es egal ist welchen Winkel ich nehme,
> da die Bretter ja alle gleich sind?
Natürlich nicht!
Du musst doch erst mal dasjenige [mm] \beta [/mm] ausrechnen, für das [mm] F(\beta) [/mm] maximal ist! Wenn Du dieses [mm] \beta [/mm] hast, verdoppelst Du's und kriegst so den Winkel [mm] \alpha [/mm] raus!
mfG!
Zwerglein
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