Modellierung von Aktienkursen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:31 Fr 13.11.2009 | | Autor: | bedekkee |
Hallo,
ich bin ein bisschen durcheinander und zwar:
Generell setzt man einen Ito-Prozess [mm] $X_t$ [/mm] an, oder?
Dieser sieht folgendermaßen aus: [mm] $dX_t [/mm] = [mm] \mu(X_t,t)\cdot [/mm] dt + [mm] \sigma(X_t,t)\cdot [/mm] dW$.
(i)Wenn jetzt der Prozess [mm] $X_t [/mm] = [mm] log(A_t)$ [/mm] ist und [mm] $A_t$ [/mm] durch eine geometrisch Brownsche Bewegung beschrieben wird (oder dieser folgt) dann sagt mir das was?
Was bringt mir das Lemma von Ito?
Kann mann sagen, dass wenn (i) gilt der Aktienkursverlauf die stochastische Differentialgleichung löst und falls ja was habe ich davon?
Insgesamt:
Wie genau sind die Zusammenhänge zwischen stochastischen Differentialgleichungen, Ito-Prozessen, Geometrisch Braunscher Bewegung, Wiener Prozess (=standard Brownsche Bewegung) und Itos Lemma?
Wäre nett wenn mir das mal jemand versuchen könnte zu erklären.
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 Sa 14.11.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Das scheint ja ein ganz spezielles Gebiet zu sein, mit dem du dich beschäftigst (daher keine Reaktionen bisher)
Im Internet wird aber vieles erklärt. Eventuell hilft dir das weiter. Da du ja bereits Grundkenntnisse auf diesem Gebiet zu haben scheinst, wirst du das wohl verstehen.
Zum Beispiel das hier: ![[]](/images/popup.gif) Wiener Prozess
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Sa 14.11.2009 | | Autor: | bedekkee |
na die Seite kenne ich schon, google habe ich mal sicherheitshalber vorher schon angefragt.
Mir gehts mehr um das große ganze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Do 19.11.2009 | | Autor: | Uetrig |
Hallo bedekkee,
manche stochastischen Systeme (z.B. Aktienkurse) lassen sich durch eine stochastische Differentialgleichung [mm] \math{dX(t) = f(t,X(t)) dt + g(t,X(t)) dW} [/mm] modellieren. Dabei ist X(t) die Zufallsvariable (z.B. Wert der Aktie zum Zeitpunkt t) und W(t) die Brown'sche Bewegung (der Teil, der aus einer Differentialgleichung eine Stochastische Differentialgleichung macht, eine Art Unsicherheit).
In dieser Form sagt uns die Differentialgleichung nicht viel und ist in den meisten Fällen auch nicht analytisch lösbar. Es kann sein, dass die Gleichung durch geschickte 'Substitution' lösbar wird. Das heisst, wir führen einen Prozess [mm] \math{Y(t) = \phi(t,X(t))} [/mm] ein, berechnen mit Itôs Lemma die neue stochastische Differentialgleichung für Y(t) und lösen sie.
In den meisten Fällen muss man aber nicht die genaue Lösung von X(t) kennen, sondern es reicht wenn man den Erwartungswert und die Varianz kennt (z.B. zu erwartender Wert der Aktie und Mass für die mögliche Abweichung). Um die Varianz zu berechnen kann man den Prozess [mm] \math{Y(t) = \phi(t,X(t)) = X(t)^2} [/mm] wählen und mit Itôs Lemma die stochastische Differentialgleichung für Y(t) berechnen. Nimmt man von dieser Gleichung den Erwartungswert, kann man sie wie eine gewöhnliche Differentialgleichung lösen und erhält das 2. Moment. Daraus kann man die Varianz berechnen.
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