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| Aufgabe | | Sei R ein Ring und nehme an, dass jeder R-Modul frei ist. Zeige, dass R ein Körper (R darf nicht kommutativ sein) ist. |
Hallo!
Ich habe mit dieser Frage Probleme, die beginnen schon in der Aufgabenstellung. Ein Körper der nicht kommutativ ist?! Das ist doch gegeben, wenn wir einen Körper betrachten.. Nicht? Wie soll ich das verstehen?
Auch sonst habe ich keine Ahung wie ich da anfangen soll. Also jeder R-Modul hat eine Basis. Nur wie komme ich mit dieser Info witer? Hilfe.. :(
Bin sehr dankbar um einen oder auch zwei Tipps =)
Grenzwert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Do 15.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe mit dieser Frage Probleme, die beginnen schon in
> der Aufgabenstellung. Ein Körper der nicht kommutativ ist?!
> Das ist doch gegeben, wenn wir einen Körper betrachten..
> Nicht? Wie soll ich das verstehen?
das ist mir auch etwas unklar - vorallem, da es an dieser stelle steht.
ich kann mir entweder vorstellen, dass du nur zeigen sollst, dass $R$ ein schiefkörper ist, das heißt ein "nicht kommutativer körper" und im sprachgebrauch dieses lehrstuhls das wort schiefkörper vermieden wird und körper dort auch für "nicht kommutative körper" verwendet wird.
oder du darfst nicht voraussetzen, dass $R$ kommutativ ist und du dies noch explizit zeigen sollst (aber das kann ich mir kaum vorstellen, insbesondere, da diese bemerkung an dieser stelle - also in der folgerung - steht). am besten klärst du das mal mit hilfe des zugehörigen skriptes oder mit dem aufgabenstelle.
vielleicht hat ja auch hier noch jemand anders eine erklärung dafür?
> Auch sonst habe ich keine Ahung wie ich da anfangen soll.
> Also jeder R-Modul hat eine Basis. Nur wie komme ich mit
> dieser Info witer? Hilfe.. :(
da musst du wohl einen geeigneten $R$-modul betrachten. wenn $R$ ein nicht inverteiebares element $a$ enthält, betrachte den $R$-modul $R/(a) [mm] \not= \{0\}$. [/mm] gibt es in disem modul ein linear unabhängiges element?
grüße
andreas
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Guten Abend!
Ja das Problem mit dem nicht kommutativen Körper konnte ich leider noch nicht lösen.. Meine Kommilitonen sind ebenfalls etwas verwirrt (werde einen Assistenten fragen). Wir haben eben leider ab und an mal einige Sprachprobleme, da unser Dozent sehr schlecht Deutsch spricht. Macht die ganze Sache nicht gerade einfacher :(
Also ich habe noch etwas Mühe mit deinem Tipp. Der Ansatz ist zu zeigen, dass jedes Element ein inverses Element braucht, damit die R-Moduln alle eine Basis haben, oder?
Nun tue ich mich immer etwas schwer mit nicht invertierbaren Elementen.. Also für ein g [mm] \in [/mm] R gibt es kein [mm] g^{-1} \in [/mm] R mit [mm] g*g^{-1}=e
[/mm]
Ich wollte mir das durch die Restklassen [mm] \IZ/n\IZ [/mm] veranschaulichen. also wenn wir [mm] \IZ/4\IZ [/mm] nehmen. Das Element 2 hat kein inverses Element. Also schaue ich mir [mm] (\IZ/4\IZ)/2 [/mm] an.
Nun tue ich mich schwer mit der linearen Unabhängigkeit eines Elementes..
[mm] 1=\lambda_{1}*3 [/mm] mit [mm] \lambda_{1}=3 [/mm] -> linear abhängig.
[mm] 3=\lambda_{2}*1 [/mm] mit [mm] \lambda_{2}=3 [/mm] -> linear abhängig
und 0=2=4 also sind alle Elemente linear abhängig, das heisst es gibt keine Basis.
Nur kann ich jetzt damit einen Rückschluss tätigen?
Vielen lieben Dank für die Mühe.
Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 16.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Also ich habe noch etwas Mühe mit deinem Tipp. Der Ansatz
> ist zu zeigen, dass jedes Element ein inverses Element
> braucht, damit die R-Moduln alle eine Basis haben, oder?
> Nun tue ich mich immer etwas schwer mit nicht
> invertierbaren Elementen.. Also für ein g [mm]\in[/mm] R gibt es
> kein [mm]g^{-1} \in[/mm] R mit [mm]g*g^{-1}=e[/mm]
> Ich wollte mir das durch die Restklassen [mm]\IZ/n\IZ[/mm]
> veranschaulichen. also wenn wir [mm]\IZ/4\IZ[/mm] nehmen. Das
> Element 2 hat kein inverses Element. Also schaue ich mir
> [mm](\IZ/4\IZ)/2[/mm] an.
genau, du betrachtest nun [mm] $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/(\overline{2}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ [/mm] als [mm] $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$-modul, [/mm] wenn [mm] $\overline{m} [/mm] = m + [mm] n\mathbb{Z}$ [/mm] die entsprechende restklasse bezeichnet. überlge dir nun, ob eines der beiden elemente, die es in dem modul noch gibt [mm] ($\overline{0} [/mm] + [mm] (\overline{2}), \overline{1} [/mm] + [mm] (\overline{2})$) [/mm] linear unabhängig ist. prüfe, also ob für $x [mm] \in \{\overline{0} + (\overline{2}), \overline{1} + (\overline{2}) \}$ [/mm] und [mm] $\lambda \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ [/mm] stets aus [mm] $\lambda [/mm] x = [mm] \overline{0} [/mm] + [mm] (\overline{2})$ [/mm] schon [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \overline{0}$ [/mm] folgt. wenn nein, gibt es dann ein "universelles" [mm] $\lambda$ [/mm] mit dem man beide elemente zu null machen kann? hat dieses etwas mit $a$ zu tuen?
grüße
andreas
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