Modul und Annullator < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Ich hab noch ein Problem. Ich bitte um Denkanstöße.
Und was hat der Annullator für eine Bedeutung??
Sei M ein R-Modul. Definiere man der Annullator von M als
ann(M) := (0 : M).
Zeige: Wenn M endlich ist, dann ist R/ann(M) isomorph zu einem Untermodul N, wobei N = [mm]\oplus_i_=_1^n[/mm][mm] M_i,
[/mm]
[mm] M_i [/mm] = M, i=1, ..., n.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
> Sei M ein R-Modul. Definiere man der Annullator von M als
> ann(M) := (0 : M).
Also:
[mm] $ann(M)=\{r \in R\, :\, r* m = 0 \quad \mbox{für alle}\ m \in M\}$.
[/mm]
Man kann zeigen (haben wir ja vorhin allgemeiner gemacht): $ann(M)$ ist ein Ideal von $R$.
> Zeige: Wenn M endlich ist, dann ist R/ann(M) isomorph zu
> einem Untermodul N, wobei N = [mm]\oplus_i_=_1^n[/mm][mm] M_i,
[/mm]
> [mm]M_i[/mm] =
> M, i=1, ..., n.
Kann es sein, dass es heißen muss: "... zu einem Untermodul von $N$"?
Und kann es sein, dass $M$ endlich erzeugt ist?
Dann ginge es so:
Es sei [mm] $\{m_1,\ldots,m_n\}$ [/mm] ein Erzeugendendystem von $M$. Betrachte die Abbildung:
[mm] $\Psi: \begin{array}{ccc}R & \to & N\\[5pt] r & \mapsto & (r* m_1,\ldots, r* m_n) \end{array}$.
[/mm]
Offenbar gilt: [mm] $Kern(\Psi) [/mm] = Ann(M)$ (das sollte man aber noch genauer zeigen!).
Daraus folgt die Existenz einer Isomorphie:
[mm] $\tilde{\Psi} [/mm] : R/Ann(M) [mm] \to Bild(\Psi)$.
[/mm]
(Man kann $R$ als Modul über sich selbst auffassen und den entsprechenden Isomorphiesatz für Moduln anwenden.)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 27.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Und nochmal einen guten Abend Julius,
darf ich dich auch hier nochmals als Kontrolleur beauftragen?
Danke Dana.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Dana!
Wenn ihr den Isomorphiesatz noch nicht hattet, dann muss man das so umständlich machen, wie ihr das gemacht habt. Und noch etwas: Hattet ihr noch nicht gezeigt, dass das Bild eines Modulhomomorphismus wieder ein Untermodul ist? (Ich frage nur, weil ihr das auch noch gezeigt habt.) Einen Abschnitt kapiere ich aber nicht, den mit der Wohldefiniertheit. Was sollte da genau gezeigt werden???
Liebe Grüße
Julius
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