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Habe die beiden Aufgaben zu lösen und keine Ahnung:
1. Sei n [mm] \ge \IN. [/mm] Für x,y [mm] \in \IZ:
[/mm]
x ~ y [mm] :\gdw [/mm] x - y [mm] \in n\IZ [/mm] = {nz | z [mm] \in \IZ [/mm] }
i) Zeige: [mm] \IZ/(n) [/mm] hat genau n Elemente.
ii) Begründe kurz, dass [mm] \IZ/(n) [/mm] mit der Add. und Multi. ein komm. Ring ist.
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo misterbecks!
Bei einer Fälligkeit von nur einer Stunde muss ich ja jetzt schnell (und gezwungenermaßen kurz) antworten, damit du noch genug Zeit hast die Frage alleine zu Ende zu beantworten.
zu i) Überlege dir, dass [mm] $x\sim [/mm] y$ genau dann gilt, wenn $x$ und $y$ bei der Division durch $n$ den gleichen Rest lassen. Und dann überlegst du dir, wie viele Reste auftreten können.
zu ii) Definiere für [mm] $[x]_n,\, [y]_n \in \IZ/(n)$:
[/mm]
[mm] $[x]_n [/mm] + [mm] [y]_n:= [x+y]_n$
[/mm]
und
[mm] $[x]_n \cdot [y]_n [/mm] := [x [mm] \cdot y]_n$.
[/mm]
Du musst dir jetzt überlegen, dass beide Verknüpfungen wohldefiniert sind (dass also die (repräsentantenweise) Definition nicht von der Auswahl der Repräsentanten abhängt).
Dann folgt automatisch, dass [mm] $\IZ/(n)$ [/mm] ein kommutativer Ring ist, da dies für [mm] $\IZ$ [/mm] gilt.
Viele Grüße
Julius
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zu i) Muss dies für x und y alleine gelten oder in Zusammenhang mit der Äquivalenzrelation? (Leider wurde bei uns Modulo schon nicht sehr gut defieniert, daher hänge ich daran etwas fest....)
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Und jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ich die Relation an sich auch noch beweisen muss.
i) x~x bekomme ich noch hin, da x-x=0 [mm] \in n\IZ
[/mm]
aber für
ii) x~y [mm] \Rightarrow [/mm] y~x und
iii) x~y,y~z [mm] \Rightarrow [/mm] x~z ????
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Hallo!
Langsam, langsam... der Reihe nach. 
Also, wir haben zu gegebenem $n [mm] \in \IN$ [/mm] folgende Relation auf den ganzen Zahlen eingeführt:
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] :\Leftrightarrow [/mm] x - y [mm] \in [/mm] n [mm] \IZ [/mm] = [mm] \{ nz : z \in \IZ \}$
[/mm]
Wir möchten zeigen, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt. Die Reflexivität ist ganz leicht, wie Du schon bemerkt hast.
Zu den anderen beiden gebe ich Dir einen Hinweis: was bedeutet es, wenn eine ganze Zahl $c$ in der Menge $n [mm] \IZ$ [/mm] liegt? Es bedeutet, dass $c$ ein ganzzahliges Vielfaches von $n$ ist - anders gesprochen, es gibt dann eine ganze Zahl $k [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $c = kn$.
Kannst Du damit bewaffnet beweisen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt? Es ist wirklich nicht schwer, versprochen!
Wenn Du das hast kommen wir zum gefürchteten "Modulo":
Wenn ich auf einer Menge (in unserem Fall [mm] $\IZ$) [/mm] eine Äquivalenzrelation habe, dann kann ich zur "Menge der Äquivalenzklassen" übergehen. Zu jedem Element kann ich ja die Menge der Elemente betrachten, die dazu äquivalent sind - also zu gegebenem $x [mm] \in \IZ$ [/mm] betrachte ich [mm] $\{ y \in \IZ : x \sim y \}$. [/mm] Das nennt man eine "Klasse" und x einen "Repräsentanten" oder auch "Vertreter" dieser Klasse - aufgrund der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation ist es klar (oder?), dass es egal ist, welchen Vertreter einer Klasse ich mir nehme, es kommt immer die gleiche Klasse heraus.
Die Menge wird auf diese Weise in Äquivalenzklassen unterteilt. Und wie Julius anmerkte, gibt es in diesem Fall eine leichte Anschauung: zwei Elemente landen in der gleichen Klasse, wenn sie bei Division durch n den gleichen Rest lassen. (Wieso? Mach es Dir klar!)
Den Rest schaffst Du alleine! Viel Erfolg!
Lars
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> Kannst Du damit bewaffnet beweisen, dass es sich um eine
> Äquivalenzrelation handelt?
Wenn ich ehrlich bin, im Moment nicht. Mir schwirren zu viele Definitionen im Hirn rum, als das ich jetzt noch weiterkomme. Kannst Du mir zumindest den Ansatz für die Symmetrie und die Transitivität posten?
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Also schön... die Symmetrie beweise ich Dir. Das andere geht im Prinzip genauso.
Seien also $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $x [mm] \sim [/mm] y$. Dann gilt nach Definition:
$x - y [mm] \in [/mm] n [mm] \IZ$ [/mm] also gibt es eine ganze Zahl $k$ mit: $x - y = kn$.
Zu zeigen ist: $y [mm] \sim [/mm] x$. Das heißt wir müssen zeigen: $y - x [mm] \in [/mm] n [mm] \IZ$.
[/mm]
Es gilt aber doch (s.o.) $x - y = kn$ also (mit (-1) multiplizieren!) auch $y - x = -kn = (-k)n [mm] \in [/mm] n [mm] \IZ$.
[/mm]
Das war's schon.
Die Transitivität jetzt aber alleine... die geht wirklich genauso! *Daumen drück*
Lars
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Hab auch den Rest, vielen Dank!
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