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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 So 22.01.2012 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Betratet wird der Körper [mm] F_{11} [/mm] ={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}.
Bestimmen sie die inversen Elemente [mm] 2^{-1},3^{-1},4^{-1},5^{-1}. [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein Übungsblatt vor mir in dem das jeweilige inverse mittels der Multiplikationstabelle ermittelt wurde.
Auch wenn es hier natürlich nur notwendig ist die Tabelle in kurzform darzustellen, hab ich irgendwie im hinterkopf dass das ganze auch wesentlich schneller ohne tabelle ging!
kann mir bitte wer auf die sprünge helfen? -.-
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moin perl,
Es gibt da mehrere Möglichkeiten für.
Du könntest zum Beispiel den erweiterten euklidischen Algorithmus versuchen.
Da hier allerdings nur mod 11 gerechnet wird, würde ich persönlich dir zum wilden Rumprobieren raten, wenn man das mit ein wenig Verstand macht dürfte das hier die schnellste Möglichkeit sein.
So ist etwa $2*6 = 12 [mm] \equiv [/mm] 1$ (mod 11), das Inverse von 2 ist also die 6, was mod 11 gleich -5 ist.
Damit weißt du auch sofort, dass das Inverse von 5 die -2 ist.
Auch 3 und 4 ergeben im Produkt 12, was wiederum gleich 1 ist.
Wenn du also in etwa weißt was [mm] $\IF_{11}$ [/mm] ist (der Restklassenkörper modulo 11), lässt sich diese Aufgabe innerhalb einer Minute im Kopf lösen.
Solltest du das noch nicht wissen wäre natürlich interessant zu erfahren was du schon weißt und was du schon benutzen kannst.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 So 22.01.2012 | | Autor: | perl |
ah ok super... so langsam kommts wieder :D
aber war da nicht auch was mit kgv?
wenn ich z.B. für -5 die Inverse suche (ohne schon das andere berechnet zu haben), was mach ich dann?
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Wie gesagt, in diesem Fall würde ich munter rumprobieren.
Modulo 11 ist $1=-10$
Also ist das Inverse von -5 die 2.
In etwas komplizierteren Fällen könntest du den erweiterten euklidischen Algorithmus verwenden.
Dieser gibt $a,b [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass:
$1 = ggT(11,-5)=-5a + 11b$
Das $a$ ist dann das Inverse (ggf. modulo 11 reduzieren).
lg
Schadow
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