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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Di 28.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Finden Sie alle [mm] x\in\IZ_{6}, [/mm] die die Gleichung lösen:
4+x=3 (mod 6) |
Hallo,
Durch nachdenken+ausprobieren bekomme ich diese Gleichung gelöst.
Jedoch gibt es dafür eine "simple" Formel, mit der man die Lösung direkt berechnen kann:
Satz:
Seien a, b ganze Zahlen, m eine natürliche Zahl. Dann gilt:
a+x=b (mod m) besitzt immer eine eindeutige Lösung x in [mm] \IZ_{m} [/mm] (und unendlich viele dazu kongruente Lösungen außerhalb [mm] \IZ_{m}). [/mm] Man erhält sie, indem man auf beiden Seiten der Kongruenzgleichung das additive Inverse −a von a in [mm] \IZ_{m} [/mm] addiert:
x=(−a)+b (mod m).
Aber irgendwie komme ich mithilfe dieses Satzes/Formel nicht auf die richtige Lösung x=5.
Zunächst muss man die additive Inverse zu 4 in [mm] \IZ_{6} [/mm] berechnen:
6-4=2
Jetzt setze ich meine Inverse 2 nun gemäß der obigen Formel in mein Beispiel ein:
x=(-2)+3 (mod 6) = 1 mod (6)
Ich komme hier auf x=1 und nicht auf die eigentlich richtige Lösung x=5 ?!
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo Jack,
lies genau.
> Finden Sie alle [mm]x\in\IZ_{6},[/mm] die die Gleichung lösen:
> 4+x=3 (mod 6)
> Hallo,
>
> Durch nachdenken+ausprobieren bekomme ich diese Gleichung
> gelöst.
> Jedoch gibt es dafür eine "simple" Formel, mit der man
> die Lösung direkt berechnen kann:
>
> Satz:
> Seien a, b ganze Zahlen, m eine natürliche Zahl. Dann
> gilt:
> a+x=b (mod m) besitzt immer eine eindeutige Lösung x in
> [mm]\IZ_{m}[/mm] (und unendlich viele dazu kongruente Lösungen
> außerhalb [mm]\IZ_{m}).[/mm] Man erhält sie, indem man auf beiden
> Seiten der Kongruenzgleichung das additive Inverse −a von
> a in [mm]\IZ_{m}[/mm] addiert:
> x=(−a)+b (mod m).
>
>
> Aber irgendwie komme ich mithilfe dieses Satzes/Formel
> nicht auf die richtige Lösung x=5.
> Zunächst muss man die additive Inverse zu 4 in [mm]\IZ_{6}[/mm]
> berechnen:
> 6-4=2
So ist es. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt setze ich meine Inverse 2 nun gemäß der obigen
> Formel in mein Beispiel ein:
> x=(-2)+3 (mod 6) = 1 mod (6)
Wieso setzt Du jetzt -2 ein? Der Satz verlangt hier doch die gerade berechnete Inverse 2.
> Ich komme hier auf x=1 und nicht auf die eigentlich
> richtige Lösung x=5 ?!
Und siehe da: [mm] x=2+3\equiv 5\mod{6}
[/mm]
> Wo liegt mein Fehler?
Wie gesagt: lies nochmal nach, was Dein Satz besagt. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Di 28.08.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo reverend,
>
> > Jetzt setze ich meine Inverse 2 nun gemäß der obigen
> > Formel in mein Beispiel ein:
> > x=(-2)+3 (mod 6) = 1 mod (6)
>
> Wieso setzt Du jetzt -2 ein? Der Satz verlangt hier doch
> die gerade berechnete Inverse 2.
>
> > Ich komme hier auf x=1 und nicht auf die eigentlich
> > richtige Lösung x=5 ?!
>
> Und siehe da: [mm]x=2+3\equiv 5\mod{6}[/mm]
>
Ach stimmt...
Mich hatte da in der Formel aus dem Satz das Minus vor dem a verwirrt bzw. fehlgeleitet. Dachte man müsste dort das Vorzeichen der Inverse umkehren, dabei ist das Minuszeichen ja nur das "Symbol" (bzw ein Teil davon) der Inversen.
Danke vielmals ;)
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