Möbiustransformation < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Möbiustranfsormation [mm] M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] mit [mm] A= \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2, \IC) [/mm] und [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] ist biholomorph. |
Hallo!
Diese Behauptung steht weniger genau formuliert in meinem Funktionentheorieskript.
Kann man die Behauptung so sagen? Oder hab ich etwas falsch formuliert?
Dann habe ich versucht das zu beweisen:
Zuerst muss man noch zwei kleinere Sachen beweisen: [mm] M_{E_{2}}=id [/mm] und [mm] M_{A} \circ M_{B} = M_{AB} [/mm]
Zum ersten:
[mm] M_{E_{2}}(z)=\bruch{1z+0}{0z+1}=z=id(z) [/mm]
Zum zweiten:
[mm] M_{A} \circ M_{B} = M_{AB} [/mm] . Durch Einsetzen von [mm] A= \pmat{ a & b \\ c & d }, B= \pmat{ a' & b' \\ c' & d' } [/mm] folgt das sofort
Man kann also mit A [mm] \in [/mm] Gl(2, [mm] \IC) [/mm] (d.h. A besitzt Inverses) folgern:
[mm] id=M_{E_{2}}=M_{AA^{-1}} = M_{A} \circ M_{A^{-1}} [/mm]
Daher ist [mm] M_{A^{-1}} [/mm] Umkehrabbildung zu [mm] M_{A} [/mm]
Jetzt bleibt zu zeigen, dass [mm] M_{A}, M_{A^{-1}} [/mm] jeweils holomorph sind.
Das hätte ich versucht durch zeigen, dass die partiellen Ableitungen exisitieren und die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten.
Aber das ist ja ein riesiger Rechenaufwand.
Kann man das auch leichter zeigen?
Es wäre super, wenn hier mal jemand drüber schauen würde!
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
Ich verstehe die gesamte Aussage nicht. Bitte formuliere so, daß man weiß, was Voraussetzung und Behauptung des Satzes sind. Gehört zum Beispiel das [mm]B_1(0) \to B_1(0)[/mm] zur Voraussetzung? Wissen wir also, daß die Möbiustransformation den Einheitskreis auf sich abbildet?
Aber auch damit geht es nicht. So ist die Möbiustransformation [mm]z \mapsto \frac{1}{2} z[/mm] von der Form [mm]B_1(0) \to B_1(0)[/mm], aber natürlich nicht surjektiv.
Die gesamte Aufgabenstellung ist irgendwie Murks.
Überlege noch einmal neu, was du überhaupt willst, und formuliere präzise.
|
|
|
| |
|
Hm... ok, neuer Versuch:
Im Skript steht folgendes als Behauptung:
[mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] ist biholomorph, denn die Umkehrabbildung ist [mm] M_{A^{-1}} [/mm] und [mm] A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1) [/mm]
Dabei heißt [mm] A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0 [/mm]
Diese Behauptung möchte ich zeigen.
Das heißt, wir haben gegeben, dass [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) , A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2,\IC) , M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d} [/mm] aus der Bemerkung davor.
Ist das so verständlicher?
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hm... ok, neuer Versuch:
>
> Im Skript steht folgendes als Behauptung:
> [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0)[/mm] ist biholomorph, denn die
> Umkehrabbildung ist [mm]M_{A^{-1}}[/mm] und [mm]A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1)[/mm]
??? Das wird i.a. nicht die Inverse von A sein !
Sag doch bitte, welche Voraussetzungen A erfüllt !
FRED
>
> Dabei heißt [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0[/mm]
>
> Diese Behauptung möchte ich zeigen.
> Das heißt, wir haben gegeben, dass [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) , A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in Gl(2,\IC) , M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d}[/mm]
> aus der Bemerkung davor.
>
> Ist das so verständlicher?
>
> Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
> > Im Skript steht folgendes als Behauptung:
> > [mm]M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0)[/mm] ist biholomorph, denn die
> > Umkehrabbildung ist [mm]M_{A^{-1}}[/mm] und [mm]A^{-1}= \pmat{ \overline{a} & - \overline{b} \\ - \overline{c} & \overline{d} } \in U(1,1)[/mm]
>
> ??? Das wird i.a. nicht die Inverse von A sein !
>
> Sag doch bitte, welche Voraussetzungen A erfüllt !
>
> FRED
> >
> > Dabei heißt [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d } \in U(1,1) : |a|^2-|c|^2=|b|^2-|d|^2=1, a \overline{b} -c \overline{d} =0[/mm]
>
Sagt das nicht zusammen mit dem, was ich vorher schon geschrieben hatte, dass A [mm] \in Gl(2,\IC), [/mm] welche Voraussetzungen es erfüllt?
Tut mir Leid, ich verstehe nicht, was genau hier fehlt! :-/
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:25 Do 07.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Irgendwas stimmt mit der Aufgabe nicht.....
Es gilt folgender Satz:
Sei [mm] $f:B_1(0) \to B_1(0)$ [/mm] eine Funktion. Dann ist f biholomorph
[mm] \gdw [/mm]
es gibt a,c [mm] \in \IC [/mm] mit |c|=1, |a|<1 und $f(z)=c* [mm] \br{z-a}{1- \overline{a}z}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 06.08.2014 | | Autor: | hippias |
> Jetzt bleibt zu zeigen, dass [mm]M_{A}, M_{A^{-1}}[/mm] jeweils
> holomorph sind.
> Das hätte ich versucht durch zeigen, dass die partiellen
> Ableitungen exisitieren und die
> Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen gelten.
> Aber das ist ja ein riesiger Rechenaufwand.
> Kann man das auch leichter zeigen?
Wie waere es so: [mm] $M_{A}(z)= \bruch{az+b}{cz+d}$ [/mm] ist ein Quotient offensichtlich differenzierbarer Funktionen. Aus der Quotientenregel folgt, dass [mm] $M_{A}(z)$ [/mm] ebenfalls differenzierbar ist.
>
> Es wäre super, wenn hier mal jemand drüber schauen
> würde!
>
> Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Mi 06.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aaaah, ja super, das ist natürlich einfacher ^^
Danke 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Mi 06.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aaaah, ja super, das ist natürlich einfacher ^^
> Danke
Freu Dich nicht zu früh....
Erst wenn gezeigt ist, dass [mm] M_A:B_1(0) \to B_1(0) [/mm] bijektiv ist, kann man so argumentieren, wie hippias das vorgeschlagen hat.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Do 07.08.2014 | | Autor: | hippias |
Ich hatte Mathe Lilys Frage so verstanden, dass es ihr um die Differenzierbarkeit der Funktion geht, und sie Cauchy-Riemannsche Diff.gl. usw vermeiden moechte. Dieses Problem sollte doch allein mit der Quotientenregel erledigt sein (wenn auch sonst nichts)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Do 07.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich hatte Mathe Lilys Frage so verstanden, dass es ihr um
> die Differenzierbarkeit der Funktion geht, und sie
> Cauchy-Riemannsche Diff.gl. usw vermeiden moechte. Dieses
> Problem sollte doch allein mit der Quotientenregel erledigt
> sein (wenn auch sonst nichts)?
Ja, die Holomorphie von [mm] M_A [/mm] steht in meinen Augen nicht zu Debatte (die kann man mit der Quotientenregel erledigen).
Es soll gezeigt werden , dass [mm] M_A [/mm] ein Automorphismus der offenen Einheitskreisscheibe ist.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Mo 18.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Also ich dachte, dass [mm] M_{A}: B_{1}(0) \to B_{1}(0) [/mm] gegeben sei und man dann eben die Holomorphie von [mm] M_{A}[/mm] und ihrer Umkehrabbildung zeigen sollte...
|
|
|
|
