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Hallo zusammen!
Ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich mir etwas unsicher bin. Gegeben ist eine Möbiustransformation [mm]S(z)=\bruch{z}{1-z}[/mm]. Ich soll zeichnerisch darstellen, wie die Menge S(G) aussieht für [mm]G:=\left\{z\in\IC : 1 < \left| z \right|< 2\right\}[/mm].
Zudem soll ich jeden einzelnen Schritt meiner Vorgehensweise erläutern.
So bin ich bisher vorgegangen:
Ich habe S ein wenig umgeformt und dann [mm]S(z)=-1-\bruch{1}{z}[/mm] erhalten. Dann wollte ich S darstellen als Verkettung von Elementartypen, also Streckung, Drehung und Inversion.
Dabei hatte ich mir gedacht:
[mm]S_1(z)=\bruch{1}{z}[/mm]
[mm]S_2(z)=-z[/mm]
[mm]S_3(z)=z-1[/mm]
Und somit: [mm]S(z)=S_3 ° S_2 ° S_1(z)[/mm]
Dabei tauchen jetzt aber folgende Fragen bei mir auf:
1. Wenn ich in diesem Fall z auf -z abbilde, passiert doch eigentlich gar nichts, oder? Also die Menge bleibt dieselbe?
2. Zur Inversion habe ich folgenden Satz gefunden: "Die Inversion kann man geometrisch als Hintereinanderausführung einer Spiegelung am Einheitskreis und einer Spiegelung an der reellen Achse interpretieren."
Ist das richtig so?
Denn wenn ich nun [mm] S_1 [/mm] bis [mm] S_3 [/mm] hintereinander ausführe, passiert letztendlich mit meiner Menge nichts anderes, als dass sie nur um 1 nach links verschoben wird ... und das verwirrt mich momentan ein bisschen.
Könnte mir vielleicht jemand helfen?
Und wenn das, was ich bisher gemacht habe (und meine Feststellung, dass es eigentlich nichts anderes als S(z)=z-1 (zumindest für die Menge G) ist) falsch ist, wie geht es dann richtig?
Hoffnungsvolle Grüße
Katinka
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Hallo,
die von dir gesuchte Bildmenge sieht zwar ganz ähnlich aus, aber:
Wie du schon richtig schreibst, beinhaltet die Abbildung [mm] $S_1:z \mapsto \bruch{1}{z}$ [/mm] eine Spiegelung am Einheitskreis.
Wenn also $|z| > 1$, dann ist [mm] |\bruch{1}{z}|<1; [/mm] analog folgt aus $|z|<2$ etwas für den Betrag von [mm] \bruch{1}{z}.
[/mm]
Ansonsten wäre noch erwähnenswert, dass [mm] $\bruch{z}{1-z}=-1-\bruch{1}{z-1}$ [/mm] ist...
Das Zerlegen in elementare Transformationen klappt dann nicht mehr so offensichtlich. In diesem Fall ist es vermutlich einfacher, wenn du schaust auf welche Punkte einige Punkte des Randes von G abgebildet werden und dabei im Hinterkopf behältst, dass Möbiustransformationen Kreise auf Kreise abbilden (wobei Geraden auch Kreise auf der Riemannschen Zahlenkugel sind). Zum guten Schluss wäre dann noch festzustellen was das Innere und was das Äußere des Bildgebietes ist.
Viel Erfolg,
Peter
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Hallo!
Danke für deine Antwort.
Mit der Umformulierung der Möbiustransformation hatte ich mich vertan, ich hatte das gestern nur aus dem Kopf ausgeschrieben, so wie du es gemacht hast, stand es bei mir auch auf dem Zettel.
Aber warum ist eine Aufsplittung in Elementartypen dann nicht mehr so einfach? Es ist ja eigentlich dasselbe wie ich es schon geschrieben habe, nur dass man vor der Inversion noch eine Verschiebung durchführen müsste - oder übersehe ich dort etwas?
Ich finde es irgendwie so unelegant, einfach ein paar Punkte zu nehmen und diese einzusetzen und dann damit irgendwie die Abbildung zu skizzieren ... zumal das dann ja auch eher ein "anhand der Punkte kann ich mir so in etwa denken, wie das aussieht" ist, als dass man es wirklich richtig konkret belegt, was mit den elementaren Transformationen so schön geht. ;(
Aber das mit dem Inneren und Äußeren ist schon mal ein guter Tipp, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 So 01.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Katinka_Kalinka!
So, wie du es machst (Aufteilung in eine Komposition von "elementaren" Möbiustransformationen), wird es schon in den meisten Lehrbüchern gemacht (z.B. im "Repetitorium Funktionentheorie", vieweg-Verlag), das ist völlig in Ordnung und geht hier natürlich auch.
Ich würde es allerdings so wie Peter machen, das geht wesentlich schneller und führt auch zum Ziel. 
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo Katinka,
nachdem mich das Matheraumsystem rausgeschmissen hatte und nicht mehr an die Beantwortung dieses Artikels ließ, musste ich erst mal warten, bis die Frage automatisch wieder freigegeben wurde :-(
Inzwischen hat Stefan ja schon geschrieben. Dem ist nur hinzuzufügen, dass ich a) keinen Schönheitspreis erwartet habe  und b) ist es doch ziemlich knifflig, den verschobenen Ring am Einheitskreis zu spiegeln (im Vergleich zum tumben Rechnen).
Ciao,
Peter
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Ähm, ich habe vorhin aus Versehen auf "Diese Mitteilung ist fehlerhaft." oder so geklickt, das war keine Absicht ...
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