Mög. gr. Momentangeschwindigke < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Di 29.06.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Es befindet sich im [mm] \IR^2 [/mm] eine Lichtquelle im Koordinatenursprung und Partikel (x,y) werden auf die Gerade {x=1} projeziert.
In welche Richtung muss sich das Partikel von (x,y) wegbewegen, damit die Momentangeschwindigkeit seines Schattens möglichst groß ist? Und wie grß ist diese dann? |
Hallo,
ich habe mir schon einige Gedanken zu obiger Aufgabe gemacht.
Für (x,y) gilt 0<x<1, da in x=1 der Bildpunkt ist, also gilt durch lineare Projektion für den Bildpunkt: (1,y/x).
Außerdem weiß man, dass die Momentangeschwinidigkeit des Schattens, die ja nun maximal werden soll, gleich dem Differerntial [mm] D_f(x,y)(u;v) [/mm] ist, während sich (x,y) selber in Richtung (u;v) bewegt.
Also soll man eine Extremwertaufgabe lösen, nur als Hinweis wurde uns gesagt, dass dieser weg nicht unbedingt der klügste sein sollte.
Aber eine Alternative fällt mir nicht ein!?
Ansonsten konnte ich selber jetzt auch über den Extremwertansatz noch keine tollen Ergebnisse erzielen - dewegen meine Frage, ob mir jemand dabei helfen könnte?
Danke Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Di 29.06.2010 | | Autor: | weduwe |
wenn ich die aufgabe richtig verstehe, könnte man folgende vermutung anstellen:
der schatten hat v = 0, wenn sich das partikel entlang des lichtstrahles.
und daher vermutlich die größte geschwindigkeit, wenn es sich jeweils orthogonal zu momentanen richtung des strahles bewegt.
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Hallo!
Weduwe hat schon eine Idee geliefert, allerdings muß man da noch ein wenig weiter denken.
Zeichne mal eine Strecke von der Lichtquelle senkrecht auf die Grade. Wenn ein Partikel sich nun senkrecht zu den Lichtstrahlen auf die Strecke zubewegt, legt der Schatten weniger Distanz zurück, als wenn er sich von ihr weg bewegt. Es kommt also nicht nur auf die mögliche Bahn des Partikels an, sondern auch, in welcher Richtung diese durchlaufen wird.
Ich denke, damit hat man die Aufgabe ziemlich schnell mit Logik gelöst, wenn man sagt, daß man die Bewegung des Teilchens in eine Komponente parallel zum Licht und eine senkrecht dazu zerlegt. Da alleine die zweite Komponente eine Auswirkung hat, sollte das Teilchen ausschließlich in diese Richtung fliegen.
Wenn es dann doch mathematisch sein soll, würde ich die Geschwindigkeit eher als [mm] v*\vektor{\sin\alpha\\ \cos\alpha} [/mm] parametrisieren, denn v ist egal, nur die Richtung [mm] \alpha [/mm] ist entscheidend.
Nebenbei ist das Szenario hier die anschauliche Bedeutung der Tangens-Funktion: Auf einem Einheitskreis bewege sich ein Punkt. Der Schnittpunkt einer Graden durch diesen Punkt und durch den Mittelpunkt des Kreises mit der rechten senkrechten Tangente an den Kreis beschreibt dann die TAN-Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 29.06.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo, erstmal danke für eure Antworten.
Ich habe mir das jetzt mal durch den Kopf gehen lassen und aufgezeichnet...und ja soweit konnte ich das alles nachvollziehen - zumindest gometrisch.
Aber mir ist der Zusammenhang zu dem normiertem Richtugsvektor [mm] $\vektor{u \\ v}$ [/mm] nicht klar geworden.
Warum beschreibt v hier die Richtung uns was ist dann mit u?
Und warum hat der Eintrag v plötlich zwei Einträge und ist damit selber wieder ein Vektor?
Und haben die sin und cos Zeilen des Vektors etwas mit Rotation (eben Richtung wegen der Rotationsmatrix) zu tun und warum sollen die v beschreiben?
Danke euch
Torste
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Hallo!
Ich glaube, hier ist was mit der Namensgebung durcheinander gelaufen.
Du gibst einen generellen Richtungsvektor an, nämlich [mm] \vektor{u\\v}. [/mm] Damit gibst du direkt zwei unabhängige Parameter an, die zusammen die Gesamtgeschwindigkeit ergeben. Das heißt aber auch, daß du wie gesagt anfängst, nach beiden Parametern abzuleiten, denn die nun bekannte Lösung ist irgendeine Kombination der beiden Geschwindigkeiten.
Daß ne höhere Partikelgeschwindigkeit zu ner höheren Schattengeschwindigkeit führt, ist ziemlich egal und beschert dir Aufwand.
Daher mein Vorschlag, sich nur um die Richtung zu kümmern, und ne Richtung in 2D gibt man am einfachsten über einen Winkel an, mein Vektor ist ein Normalenvektor, der in die entsprechende Richtung zeigt. Kennt man eine Geschwindigkeit, kann man diese mit diesem Vektor multiplizieren. Dafür habe ich ebenfalls den gebräuchlichen Buchstaben v verwendet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Di 29.06.2010 | | Autor: | Torste |
Achso...noch ein Stücl klarer.
Also ist die Antwiort aug die Frage das [mm] \alpha, [/mm] für das [mm] sin\alpha+cos\alpha=f(x) [/mm] sein Maxmum hat, also bei [mm] \alpha=0+\pi/2*k, [/mm] k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Denn da wird die Funktion(periodisch) nämlich Eins und ansonten immer kleiner.
Die Geschwinidgkeit v spielt dabei ja keine Rolle :)
habe ich das richtig verstanden?
Torste
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Öhm, das verstehe ich nun nicht ganz.
Wenn sich das Partikel an der Stelle [mm] \vektor{x\\y} [/mm] befindet, befindet es sich nach der kurzen Zeit dt an der Stelle [mm] \vektor{x\\y}+v*\vektor{\sin \alpha \\ \cos \alpha}*dt
[/mm]
In der Zeit legt der Schatten eine Strecke s zurück.
Such dir erstmal einen konkreten Punkt für dein Partikel aus, und berechne die Strecke s.
Nun schau mal, für welches [mm] \alpha [/mm] diese Strecke s maximal wird, denn damit hast du dann die Richtung, für die der Schatten die maximale Geschwindigeit erreicht.
Jetzt wissen wir ja schon, was das Ergebnis sein sollte. Wo findest du den Winkel in einer Skizze wieder, und wie ergibt sich daraus die Sache mit den 90°?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 29.06.2010 | | Autor: | Torste |
Ok...ich habe mir jetzt was überlegt und würde das mal gerne präsentieren um zu wissen ob das so richtig ist:
Ich weiß also das mein neuer Punkt nach der Verschiebung so aussieht:
[mm] \vektor{x+v sin\alpha \\ y+v cos\alpha} [/mm] - nach der projektion siht der Bildpunkt also so aus:
[mm] \vektor{1 \\ (y+v cos\alpha)/(x+v sin\alpha) } [/mm]
Der ursprüngliche Bildpunkt war von der Form:
[mm] \vektor{1 \\ y/x}
[/mm]
Also wollen wir jetzt
(y+v [mm] cos\alpha)/(x+v sin\alpha)-y/x [/mm] maxixmieren!
Für (y+v [mm] cos\alpha)/(x+v sin\alpha) [/mm] haben wir das max , da [mm] -1
Also haben wir auch dafür das Maximum von:
(y+v [mm] cos\alpha)/(x+v sin\alpha)-y/x, [/mm] was ja gesucht war.
Der Winkel liegt jetzt gerade an der Stelle, wo das Partikel auf den Lichstrahl trifft - der Winkel wird so gemessen, dass man ihn an den normalen Lichstrahlverlauf anlegt!
Und damit sind es 90° und das Partikel muss sich senkrecht zum Lichstrahl bewegen.
Ich hoffe das das richtig ist !
Aber was ist denn dann jetzt die Momenatngechwidigkeit, warum wissen wir das diese maximal ist, wenn die Strecke maximal ist!? UNd was wäre dann jetzt die Richtuing? - ETWA: [mm] \vektor{1 \\ 0}?, [/mm] da sin [mm] \pi/2 [/mm] = 1 und [mm] cos\pi/2=0 [/mm] ?
Danke für die Hilfe
Torste
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hi!
> Ok...ich habe mir jetzt was überlegt und würde das mal
> gerne präsentieren um zu wissen ob das so richtig ist:
>
> Ich weiß also das mein neuer Punkt nach der Verschiebung
> so aussieht:
> [mm]\vektor{x+v sin\alpha \\ y+v cos\alpha}[/mm] - nach der
> projektion siht der Bildpunkt also so aus:
> [mm]\vektor{1 \\ (y+v cos\alpha)/(x+v sin\alpha) }[/mm]
> Der ursprüngliche Bildpunkt war von der Form:
> [mm]\vektor{1 \\ y/x}[/mm]
>
> Also wollen wir jetzt
>
> (y+v [mm]cos\alpha)/(x+v sin\alpha)-y/x[/mm] maxixmieren!
Das sieht gut aus!
>
> Für (y+v [mm]cos\alpha)/(x+v sin\alpha)[/mm] haben wir das max , da
> [mm]-1
> Also
> haben wir auch dafür das Maximum von:
>
> (y+v [mm]cos\alpha)/(x+v sin\alpha)-y/x,[/mm] was ja gesucht war.
>
Nein, wie kommst du da drauf?
Also, grundsätzlich reicht es durchaus, nur [mm] \frac{y+v\cos \alpha}{x+v\sin \alpha} [/mm] zu betrachten. Nur hiervon mußt du das Extremum betrachten. (Maximum oder Minimum, denn je nach Winkel wird der Schatten nach oben oder unten wandern)
Beispiel: P(0.5|0.5) und v=0.1
Der zurückgelegte Abstand wird durch diese Funktion dargestellt (Winkel zur besseren Übersicht in Grad)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, das sieht entfernt wie eine Sinus-Kurve aus, ist aber ziemlich verzerrt. Es gibt ein Maximum bei ca. 315° und ein Minimum bei ca. 135°
Nochmal zum Winkel: Senkrecht nach oben hieße 0°, und dann gehts im Uhrzeigersinn weiter. (Ich hab mich da ein wenig vertan, denn das ist nicht grade die Konvention, aber das macht nix)
ok, das heißt nun,eine Möglichkeit wäre eine Richtung, die 45° von der Senkrechten nach oben links geht, die andere wäre mit 45° nach unten rechts. (Mach dir dazu ne Skizze)
Sooo, der genannte Punkt liegt im 45°-Winkel zur waagerechten und der Lichtquelle. Und wenn man darüber nachdenkt, liegen die beiden Richtungen tatsächlich im 90°-Winkel zum Lichtstrahl.
Nur schwer erkennbar ist, daß das Maximum vom betrag her bei einem höheren Wert liegt als das Minimum. Aber das heißt, eine Bewegung nach oben links gibt ne höhere zurück gelegte Strecke als nach unten rechts. Das hab ich ja in meinem ersten Beitrag schon geschrieben.
Ungenauigkeiten ergeben sich hier dadurch, daß diese grobe Rechnung nicht die momentante Geschwindigkeit am punkt (x|y) betrachtet, sondern direkt einfach einen Schritt mit ner gewissen Länge in eine bestimmte Richtung macht.
Der nächste Schritt bestünde darin, den Weg des Schattens zu linearisieren.
Allerdings ists grade recht spät, und ich muß noch weg, aber ich kann das gern später nochmal erläutern...
> Der Winkel liegt jetzt gerade an der Stelle, wo das
> Partikel auf den Lichstrahl trifft - der Winkel wird so
> gemessen, dass man ihn an den normalen Lichstrahlverlauf
> anlegt!
> Und damit sind es 90° und das Partikel muss sich
> senkrecht zum Lichstrahl bewegen.
>
> Ich hoffe das das richtig ist !
> Aber was ist denn dann jetzt die Momenatngechwidigkeit,
> warum wissen wir das diese maximal ist, wenn die Strecke
> maximal ist!? UNd was wäre dann jetzt die Richtuing? -
> ETWA: [mm]\vektor{1 \\ 0}?,[/mm] da sin [mm]\pi/2[/mm] = 1 und [mm]cos\pi/2=0[/mm] ?
> Danke für die Hilfe
> Torste
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Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Di 29.06.2010 | | Autor: | Torste |
Das wäre wirklich nett, wenn du es nochmal ausführen könntest.
Mir ist vor allem absolut noch nicht klar, was das alles mit der max. Momentangeschwinidigkeit zu tun hat!?
Torste (Danke für die Hilfe!) =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Torste |
Mir ist noch was aufgefallen - mein Argumentation klappt - für das Maximum des Terms setzten wir [mm] \pi/2, [/mm] dann ist der Term am größten und wir haben angelegt an den Lichstrahl unsere 90° - wenn wir das Minumum betrachten, also wenn das Partikel, ,,unterhalb" des Lichstrahls liegt haben wit [mm] 3\pi/2 [/mm] , also dann 270°, also die Drehung um 90° in die andere Richtung.
das geht doch, oder!?
Torste
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Torste |
Und nochmal eine ganz wichtige Frage:
jetzt kenne ich den Winkel.Also kann ich die Richtung damit jetzt angebe, aber die letzte Frage ist ja wie groß die Momentageschwindigkeit dabei ist - wie gebe ich das an - ist das einfach der Wer von cos [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] sin3\pi/2, [/mm] da die Vektoren ja normiert sind, also als Geschwindigkeit?
Wie finde cih das raus und berechen es?
Danke Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Do 01.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Zeichnung zeigt die Situation: in dt kann das Teilchen überall auf dem Kreis landen. Dann sind die 2 Tangenten die Lichtstrahlen, die die 2 relativen maxima des Schattens begrenzen, wobei klar ist, dass die untere nur ein relatives max, dieobere das absolute Max ist.
Aus der Zeichnung liest man ab: für dt gegen 0 geht der Winkel zum Strahl gegen 90°.
[mm] \Delta [/mm] s kann man damit bestimmen. und damit ds/dt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Do 01.07.2010 | | Autor: | Torste |
> [mm]\Delta[/mm] s kann man damit bestimmen. und damit ds/dt
> Gruss leduart
Hallo leduart,
soweit habe cih das jetz kapiert - danke.
Aber jetzt geht es ja noch um die max. momentangeschwinidikeit und ist das nicht das Differential?
Dann wäre bei mir die Momentageschwidikeit für 90° z.B. 1/x!
Wäre das korrekt?
dann verwisrrt mich dabei nur dein angegebner Rechenansatz!!?
Grüsse Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Do 01.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich wollte das ganze geomettrisch lösen, ganz ohne eigentliches differenzieren. Dwenn du ds ausrechnest aus der Zeichnung, mit senkrechter Geschw. zum anfangsstrahl hast du doch ds/dt. in der endformel muss sicher noch v des Teilchens vorkommen.
wie kommst du auf 1/x ?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Do 01.07.2010 | | Autor: | Torste |
Habe das Differtial Df(a) mit der Abbildung f(x,y)->(1,y/x) z und [mm] a=(sin\phi, cos\phi) [/mm] berchnet - das müsste doch genau die Momentangeschwindigkeit zum jeweiligen Winkel angeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 01.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. ich kann mit Loddars Vektor schlecht. also nimm ich das üblichere [mm] v_x=v*cos\alpha, v_y=v*sin(\alpha) [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] Winkel zur x- Achse.
dann hast du für den Weg auf der Geraden:
[mm] s(t)=\bruch{y+v*t*sin(\alpha)}{x+v*t*cos(\alpha)}-\bruch{y}{x}
[/mm]
s'(t) bei t=0 ist die Momentangeschw.bei t=0
wenn du dann s'(0) nach [mm] \alpha [/mm] ableitest, findest du das max, wie erwartet senkrecht auf dem Strahl bei mir also [mm] tan(\alpha)=-x/y
[/mm]
den Winkel in s'(0) ergibt die Momentangeschw.
wenn du statt x.y [mm] x=rcos\phi y=rsin(\phi) [/mm] nimmst ist s'(o) einfacher.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 01.07.2010 | | Autor: | Torste |
Das klingt dann ja alles ganz toll!!
Aber ein problem ist doch dann die anzugebende Richtung, die ja den Betrag haben sollte.
das war gerade mit (sin [mm] \alpha, cos\alpha) [/mm] gegeben.
Mit (rsin [mm] \alpha,r cos\alpha) [/mm] wäre die Voraussetzung dann ja nicht mehr gegeben!
Grus Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Do 01.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das versteh ich nicht:
erstmal ist das [mm] (x,y)=(rcos\phi,rsin\phi) [/mm] eine eindeutige Beschreibung für (x,y)
den Winkel [mm] \alpha [/mm] von [mm] (vcos\alpha,vsin\alpha) [/mm] kannst du dann aus [mm] \phi [/mm] bestimmen.
aber das musst du ja nicht. du kannst /alpha natürlich auch aus x und y berechnen. find ich nur umständlicher.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Do 01.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das untere ist auch ein rel, Max. das min liegt bei Bewegung in Strahlrichtung.
Gruss leduart
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