Mögliche Jordansche Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie alle möglichen JNF der Matrizen aus $M(3 [mm] \times [/mm] 3, [mm] \mathbb{F}_2)$ [/mm] an |
Es gibt doch nur folgende jordansche Normalformen
es gibt 2 mit Jordanblöcken der Größe 3
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
2 Möglichkeiten mit Jordanblöcken der Größe 1 und 2
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
[/mm]
und 3 Möglichekiten mit Jordanblöcken der Größe 1
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
[/mm]
Ist das korrekt so oder habe ich welche vergessen?
Und noch eine Aufgabe:
Sei $A [mm] \in [/mm] M(6 [mm] \times [/mm] 6, [mm] \mathbb{R})$ [/mm] mit charakteristischem Polynom [mm] $P_A(\lambda) [/mm] = [mm] (2-\lambda)^6$ [/mm] und $dim(ker(A - [mm] 2E_6)) [/mm] = 3 $ Welche möglichen Jordanschen Normalformen gibt es für $A$? Geben Sie für alle Fälle das Minimalpolynom an.
Dann gibt es doch 3 Möglichkeiten:
[mm] $\begin{pmatrix} 3 \times 3 \\ & 2 \times 2 \\ & & 1\times 1\end{pmatrix}$ [/mm] mit Minimalpolynom $(2 - [mm] \lambda)^3$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix} 2 \times 2 \\ & 2 \times 2 \\ & & 2\times 2\end{pmatrix}$ [/mm] mit Minimalpolynom $(2 - [mm] \lambda)^2$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix} 4 \times 4 \\ & 1 \times 1 \\ & & 1\times 1\end{pmatrix}$ [/mm] mit Minimalpolynom $(2 - [mm] \lambda)^4$
[/mm]
Also in der Diagonale eben die Jordanblöcke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:13 Fr 19.06.2015 | | Autor: | hippias |
> Geben Sie alle möglichen JNF der Matrizen aus [mm]M(3 \times 3, \mathbb{F}_2)[/mm]
> an
>
> Es gibt doch nur folgende jordansche Normalformen
>
> es gibt 2 mit Jordanblöcken der Größe 3
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
O.K.
> 2 Möglichkeiten mit Jordanblöcken der Größe 1 und 2
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>
Was ist denn eigentlich mit einer Matrix wie [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$?
[/mm]
> und 3 Möglichekiten mit Jordanblöcken der Größe 1
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>
O.K.
> Ist das korrekt so oder habe ich welche vergessen?
>
> Und noch eine Aufgabe:
> Sei [mm]A \in M(6 \times 6, \mathbb{R})[/mm] mit
> charakteristischem Polynom [mm]P_A(\lambda) = (2-\lambda)^6[/mm] und
> [mm]dim(ker(A - 2E_6)) = 3[/mm] Welche möglichen Jordanschen
> Normalformen gibt es für [mm]A[/mm]? Geben Sie für alle Fälle das
> Minimalpolynom an.
>
> Dann gibt es doch 3 Möglichkeiten:
> [mm]\begin{pmatrix} 3 \times 3 \\ & 2 \times 2 \\ & & 1\times 1\end{pmatrix}[/mm]
> mit Minimalpolynom [mm](2 - \lambda)^3[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 2 \times 2 \\ & 2 \times 2 \\ & & 2\times 2\end{pmatrix}[/mm]
> mit Minimalpolynom [mm](2 - \lambda)^2[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \times 4 \\ & 1 \times 1 \\ & & 1\times 1\end{pmatrix}[/mm]
> mit Minimalpolynom [mm](2 - \lambda)^4[/mm]
>
> Also in der Diagonale eben die Jordanblöcke.
Ich glaube, das hast Du Dir richtig ueberlegt.
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