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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 29.04.2009 | | Autor: | bmaya |
| Aufgabe | 1) Für ein Sommerfest stehen zur Dekoration 7 rote, 2 grüne und 6 blaue Lampions zur Verfügung.
a) Wie viele Möglichkeiten für eine Girlande ergeben sich, wenn alle Lampions verwendet werden und die Lampions nur nach der Farbe unterschieden werden?
b) Tina will auf keinen Fall zulassen, dass die zwei grünen Lampions nebeneinander hängen. Wie viele unterschiedliche Girlanden kann sie zusammenstellen? (Tipp: Überlegen Sie zunächst, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass die 2 Grünen nebeneinander hängen)
c) Die Lampions unterscheiden sich außer durch ihre Farbe auch noch durch ihre Form. Wie viele verschiedene Girlanden aus 5 roten, 2 grünen und 4 blauen Lampions sind möglich?
d) Auf der Terrasse will Tina 6 Windlichter aufstellen. Im Laden gibt es 3 Farben: rot, grün und blau. Wie viele Kombinationen für den Kauf der Windlichter sind möglich? Beachten Sie, dass mehrere Lichter derselben Farbe vorkommen können. |
Hallo. Wenn mir jemand sagen könnte ob ich mit folgenden Rechenwegen bzw. Ergebnissen richtig liege wär ich sehr dankbar.
Zu 1a) Zw.rechnung: 7+2+6=15
Endergb.: [mm] \vektor{15 \\ 7}*\vektor{15-7 \\ 2}*\vektor{6 \\ 6}=180180;
[/mm]
1b) Zwischenrechnung: [mm] \vektor{15 \\ 2}=105
[/mm]
Endergebnis: 180180-105=180075;
1c) (5+2+4)! = 39.916.800
1d) [mm] 3^6=729
[/mm]
Vielen Dank für die Mühe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mi 29.04.2009 | | Autor: | abakus |
> 1) Für ein Sommerfest stehen zur Dekoration 7 rote, 2 grüne
> und 6 blaue Lampions zur Verfügung.
>
Hallo,
es gibt 15! Möglichkeiten zur Anordnungen von 15 (unterscheidbaren) Luftballons.
Diese Anzahl verringert sich um den Faktor 7!, weil man die 7 roten ja nicht unterscheiden kann und sie untereinander 7! Anordnungsmöglichkeiten haben.
Diese Anzahl verringert sich noch um den Faktor 2!, weil man die 2 grünen ja nicht unterscheiden kann und sie untereinander 2! Anordnungsmöglichkeiten haben.
Diese Anzahl verringert sich noch um den Faktor 6!, weil man die 6 blauen ja nicht unterscheiden kann und sie untereinander 6! Anordnungsmöglichkeiten haben.
Ergebnis: [mm] \bruch{15!}{7!*2!*6!}
[/mm]
Gruß Abakus
> a) Wie viele Möglichkeiten für eine Girlande ergeben sich,
> wenn alle Lampions verwendet werden und die Lampions nur
> nach der Farbe unterschieden werden?
>
> b) Tina will auf keinen Fall zulassen, dass die zwei grünen
> Lampions nebeneinander hängen. Wie viele unterschiedliche
> Girlanden kann sie zusammenstellen? (Tipp: Überlegen Sie
> zunächst, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass die 2
> Grünen nebeneinander hängen)
>
> c) Die Lampions unterscheiden sich außer durch ihre Farbe
> auch noch durch ihre Form. Wie viele verschiedene Girlanden
> aus 5 roten, 2 grünen und 4 blauen Lampions sind möglich?
>
> d) Auf der Terrasse will Tina 6 Windlichter aufstellen. Im
> Laden gibt es 3 Farben: rot, grün und blau. Wie viele
> Kombinationen für den Kauf der Windlichter sind möglich?
> Beachten Sie, dass mehrere Lichter derselben Farbe
> vorkommen können.
> Hallo. Wenn mir jemand sagen könnte ob ich mit folgenden
> Rechenwegen bzw. Ergebnissen richtig liege wär ich sehr
> dankbar.
>
> Zu 1a) Zw.rechnung: 7+2+6=15
>
> Endergb.: [mm]\vektor{15 \\ 7}*\vektor{15-7 \\ 2}*\vektor{6 \\ 6}=180180;[/mm]
>
> 1b) Zwischenrechnung: [mm]\vektor{15 \\ 2}=105[/mm]
> Endergebnis:
> 180180-105=180075;
>
> 1c) (5+2+4)! = 39.916.800
>
> 1d) [mm]3^6=729[/mm]
>
> Vielen Dank für die Mühe.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 29.04.2009 | | Autor: | bmaya |
Okay. Mit deiner Methode kommt man auch auf 180180 bei der 1a. Könntest du mir noch sagen ob meine restlichen Ergebnisse stimmen? Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:02 Do 30.04.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
also
1b) Das stimmt so leider nicht.
Die beiden grünen können an Position 1-2 oder 2-3 usw. bis 14-15 stehen. Das sind 14 Möglichkeiten für die grünen. Jetzt noch die Möglichkeiten, die restlichen auf die übrigen 13 Plätze zu verteilen.
Dann erhältst du insgesamt
[mm] 14*\vektor{13 \\ 7}*\vektor{6 \\ 6} [/mm] Möglichkeiten, bei denen die beiden grünen nebeneinander sind.
1c) richtig
1d) Das stimmt leider nicht.
Hier kannst du ja keine Reihenfolge unterscheiden und die gleichfarbigen sind auch nicht unterscheidbar.
Hier kannst du dir am besten folgendes vorstellen:
Du brauchst zwei Trennstriche, um drei Farbschubladen zu unterscheiden und sechs gleiche Symbole (ich nehme jetzt mal x) um die sechs Windlichter darzustellen.
Dann stellt
xx|xxx|x
beispielsweise die Auswahl zwei rote, drei grüne, ein blaues Windlicht dar.
|xx|xxxx
steht für kein rotes, zwei grüne, 4 blaue Windlichter.
Jetzt musst du überlegen, auf wie viele Arten du diese 8 Symbole anordnen kannst.
Das geht auf
[mm] \vektor{8 \\ 2}*\vektor{6 \\ 6} [/mm] Möglichkeiten.
Gruß Glie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mo 04.05.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
die Antwort [mm] 3^6 [/mm] zu 1d) war gar nicht schlecht,
zumindest ein Anfang,
leider zählst du manche mögliche Käufe m e h r f a c h damit ergeben sich z u v i e l e mögliche Einkäufe.
Ein Beispiel (r steht für rot, g für grün und b für blau):
Du wählst
zuerst ein rotes Windlicht,
dann ein grünes,
dann ein blaues,
dann wieder ein rotes Windlicht,
dann wieder ein grünes,
dann wieder ein blaues,
also (in verkürzter Schreibweise):
r g b r g b.
Du kaufst somit zwei rote, zwei grüne und zwei blaue Windlichter.
Dasselbe ergibt sich, wenn du
zuerst ein blaues Windlicht,
dann ein grünes,
dann ein rotes,
dann wieder ein rotes Windlicht,
dann wieder ein grünes,
dann wieder ein blaues kaufst,
also (in verkürzter Schreibweise):
b g r r g b.
Wieder zwei rote, zwei grüne und zwei blaue Windlichter.
Und so weiter.
Statt den von dir vorgeschlagen 729 Möglichkeiten bleiben nur noch 28 Möglichkeiten übrig,
und zwar:
rrrrrr
rrrrrg
rrrrrb
rrrrgg
rrrrgb
rrrrbb
rrrggg
rrrggb
rrrgbb
rrrbbb
rrgggg
rrgggb
rrggbb
rrgbbb
rrbbbb
rggggg
rggggb
rgggbb
rggbbb
rgbbbb
rbbbbb
gggggg
gggggb
ggggbb
gggbbb
ggbbbb
gbbbbb
bbbbbb
Es ist ein
"Ziehen mit Zurücklegen o h n e Berücksichtigung der Reihenfolge",
28=(n+k-1)!/[k!*(n+k-1-k)!] mit n=3, k=6.
Schönen Gruß
Karsten
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