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Momente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 31.10.2018
Autor: mimo1

Aufgabe
Es sei [mm] X\in \mathcal{L}^3 [/mm] mit E(X)=0. Außerdem sei [mm] \sigma^2=Var(X). [/mm] Es ist
[mm] log(1+z)=z-\bruch{1}{2}z^2+R_2^{log}(z)z^2 [/mm] mit [mm] \vert R_2^{log}(z)\vert\le \bruch{\vert z\vert}{3(1-\vert z\vert)} [/mm]

bekannt. Die Funktion [mm] \psi [/mm] wird durch [mm] \psi(t)=\phi_X(t)-1 [/mm] definiert. Dann gilt [mm] \psi(t)=R_0(t)=R_1(t)t [/mm] gilt, wobei [mm] \phi_X(t)=\sum_{k=0}^nE(X^k)\bruch{(it)^k}{k!}+R_n(t)t^n. [/mm]

(a) Zeige, dass

[mm] \vert R_1(t)^2\vert=\vert \bruch{R_0(t)R_1(t)}{t}\vert\le E(\vert X\vert)E(\vert X\vert^2)\vert t\vert\le E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]

(b) Zeige, dass [mm] log(\phi_x(t))=-\bruch{1}{2}\sigma^2t^2+\tilde{R}_2(t)t^2 [/mm] mit [mm] \tilde{R}_2(t)=R_2(t)-\bruch{1}{2}R_1(t)^2+R_2^{log}(\psi(t))R_^{t}^2 [/mm] gilt. Schließen Sie daraus [mm] \vert \tilde{R}_2\vert\le E(\vert X\vert^3)\vert t\vert, [/mm] falls [mm] E(\vert X\vert)\vert t\vert\le \bruch{1}{2} [/mm] gilt

hallo zusammen

(a) [mm] \vert R_1(t)^2\vert=\vert \bruch{R_0(t)R_1(t)}{t}\vert\overset{(i)}{\le} E(\vert X\vert)E(\vert X\vert^2)\vert t\vert\overset{(ii)}{\le}E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]

zu (i) [mm] \vert R_1(t)^2\vert=\vert \bruch{R_0(t)R_1(t)}{t}\vert =\vert \bruch{R_1(t)R_1(t)}{t}\vert=\vert \bruch{(E(X)it+R_1(t)t)R_1(t)}{t}\vert\le [/mm]
[mm] \bruch{\vert (E(X)it\vert+\vert R_1(t)t)\vert \vert R_1(t)\vert }{\vert t\vert } [/mm]
[mm] =(E(\vert [/mm] X [mm] \vert [/mm] ) [mm] +\vert R_1(t)\vert) \bruch{\vert R_1(t)\vert}{\vert t\vert } [/mm]

dann habe ich folgende eine Ungleichung
benutzt
[mm] \vert R_n(t)\vert\le \bruch{1}{(n+1)!}E(\vert X\vert^{n+1})\vert t\vert. [/mm]

Also
[mm] (E(\vert [/mm] X [mm] \vert [/mm] ) [mm] +\vert R_1(t)\vert) \bruch{\vert R_1(t)\vert}{\vert t\vert }\le [/mm] (E(|X|) + [mm] \bruch{1}{2}E(\vert X\vert)^2|t|)\bruch{1}{2}E(\vert X\vert)^2 [/mm]

aber ich komme einfach nicht auf das Ergebnis.


(b) log [mm] (\phi_X(t))=log(\psi(t)+1)=\psi(t)-\bruch{1}{2}\psi^2(t)+R_2^{log}(\psi(t))\psi^2(t) [/mm]

kann mir da jemand weiterhelfen? Ich stehe total auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich vorangehen soll. Danke!


        
Bezug
Momente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 31.10.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also bei der Aufgabe ist noch einiges recht konfus:

> Es sei [mm]X\in \mathcal{L}^3[/mm] mit E(X)=0. Außerdem sei
> [mm]\sigma^2=Var(X).[/mm] Es ist
>  [mm]log(1+z)=z-\bruch{1}{2}z^2+R_2^{log}(z)z^2[/mm] mit [mm]\vert R_2^{log}(z)\vert\le \bruch{\vert z\vert}{3(1-\vert z\vert)}[/mm]

Ok, Taylor-Entwicklung von [mm] $\log(1+z)$ [/mm]

> Die Funktion [mm]\psi[/mm] wird durch [mm]\psi(t)=\phi_X(t)-1[/mm]
> definiert. Dann gilt [mm]\psi(t)=R_0(t)=R_1(t)t[/mm] gilt, wobei
> [mm]\phi_X(t)=\sum_{k=0}^nE(X^k)\bruch{(it)^k}{k!}+R_n(t)t^n.[/mm]

Und hier fehlt was, denn:
Wir haben: [mm]\psi(t)=\phi_X(t)-1[/mm], d.h. für [mm] $\psi$ [/mm] brauchen wir [mm] $\phi_X$.... [/mm] was ist nun [mm] $\phi_X$? [/mm]
Das hier: [mm]\phi_X(t)=\sum_{k=0}^nE(X^k)\bruch{(it)^k}{k!}+R_n(t)t^n.[/mm]
Was ist nun [mm] $R_n$? [/mm]
Da fehlen Informationen…

Denn gegen was willst du [mm] R_n [/mm] abschätzen, wenn du keine weiteren Informationen hast?
Oder es fehlen Informationen über [mm] $\phi_X$… [/mm] suchs dir aus.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Momente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Do 01.11.2018
Autor: mimo1

Aus vorherige Aufgabenstellung war folgende Ungleichung gegeben (steht auch in meinem Lösungsansatz), womit man das Restglied abschätzen kann:

[mm] \vert R_n(t)\vert\le \bruch{1}{(n+1)!}E(\vert X\vert^{n+1})\vert t\vert. [/mm]

Die erste Ungleichung (i) habe ich bereits gezeigt. Nun bereitet mir (ii) schwierigkeiten, also

[mm] E(\vert X\vert)E(\vert X\vert^2)\vert t\vert\le E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]

und zu b) fehlt mir nur noch folgende Abschätzung zu zeigen:

[mm] \vert \tilde{R}_2(t)\vert\le E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]

[mm] |\tilde{R}_2(t)|\le |R_2(t)| [/mm]    -    [mm] \bruch{1}{2}|R_1(t)|^2 [/mm]    +  [mm] |R_2^{log}(\psi(t))||R_1(t)|^2 [/mm]
     [mm] \le \bruch{1}{3!}E(|X|^3)|t|-\bruch{1}{2} E(\vert X\vert)E(\vert X\vert^2)\vert t\vert+ \bigg( \bruch{\vert \psi(t)\vert}{3(1-\vert \psi(t)\vert)}\bigg)E(\vert X\vert)E(\vert X\vert^2)\vert t\vert [/mm]
     [mm] \le \bruch{1}{3!}E(|X|^3)|t| [/mm] -  [mm] \bruch{1}{2} E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]   + [mm] \bigg( \bruch{\vert \psi(t)\vert}{3(1-\vert \psi(t)\vert)}\bigg)E(\vert X\vert^3)\vert t\vert [/mm]

Nun komme ich leider nicht weiter bzw komme nicht zum gewünschtem Ergebnis. Ich wäre für jedem Tipp dankbar!

Bezug
                        
Bezug
Momente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:43 Fr 02.11.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aus vorherige Aufgabenstellung war folgende Ungleichung
> gegeben (steht auch in meinem Lösungsansatz), womit man
> das Restglied abschätzen kann:
>  
> [mm]\vert R_n(t)\vert\le \bruch{1}{(n+1)!}E(\vert X\vert^{n+1})\vert t\vert.[/mm]

Das ist schön… aber das bringt nichts.
Nochmal: Du unterschlägst Informationen, die relevant sind.

Entweder braucht man die Information, was [mm] $\phi_X(t)$ [/mm] ist, oder eben konkrete Informationen über [mm] R_n [/mm] und nicht nur eine Abschätzung.
Aktuell ist dein [mm] $\phi_X$ [/mm] nicht mal wohldefiniert… ich kann dir adhoc 3 verschiedene Möglichkeiten für [mm] $\phi_X$ [/mm] nennen, die nach deinen Vorgaben alle valide wären, sich aber unterscheiden.

> Die erste Ungleichung (i) habe ich bereits gezeigt.

zeig das mal, vllt. finden wir dann raus, was du benutzt, aber nicht verraten hast…

Gruß,
Gono

Bezug
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