Momente der Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass Satz 29.4 gilt. (Tipp Zeigen Sie mithilfe partieller Integration, dass [mm] E(Z^n) [/mm] = (n - 1) [mm] E(Z^{n-2}) [/mm] und verwenden Sie [mm] E(Z^0) [/mm] = E(1) = 1.)
Satz 29.4: Für die Momente einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen Z gilt:
[mm] E(Z^n) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ 1 * 3 * 5 \cdots (n - 1) , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] |
Hallo,
es ist doch:
[mm] E(Z^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}
[/mm]
Und:
[mm] E(Z^{n - 2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}
[/mm]
Jetzt kann man sich doch [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] wegdenken, und dann müsste ich doch mit partieller Integration von
[mm] \integral{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm] = [mm] \integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}
[/mm]
bei
(n - 1) [mm] \integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}
[/mm]
landen, richtig?
Aber wenn ich das partiell integriere, bekomme ich:
[mm] \integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1} [/mm] + (n - 1) [mm] \integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}
[/mm]
Das ist doch offensichtlich nicht gleich; was soll ich denn gegen das [mm] -e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1} [/mm] tun? Oder habe ich falsch integriert?
Danke & Gruß,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mi 06.05.2020 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass Satz 29.4 gilt. (Tipp Zeigen Sie mithilfe
> partieller Integration, dass [mm]E(Z^n)[/mm] = (n - 1) [mm]E(Z^{n-2})[/mm]
> und verwenden Sie [mm]E(Z^0)[/mm] = E(1) = 1.)
>
> Satz 29.4: Für die Momente einer standardnormalverteilten
> Zufallsvariablen Z gilt:
>
> [mm]E(Z^n)[/mm] = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ 1 * 3 * 5 \cdots (n - 1) , & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> es ist doch:
>
> [mm]E(Z^n)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>
> Und:
>
> [mm]E(Z^{n - 2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral_{-\infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>
> Jetzt kann man sich doch [mm]\bruch{1}{2 \pi}[/mm] wegdenken, und
> dann müsste ich doch mit partieller Integration von
>
> [mm]\integral{z^n e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm] = [mm]\integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>
> bei
>
> (n - 1) [mm]\integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>
> landen, richtig?
Nein. Du schreibst [mm] \int, [/mm] Du integrierst also unbestimmt. Du landest richtig, und das sollst Du auch zeigen, wenn Du [mm] \int_{- \infty}^{\infty} [/mm] schribst (siehe unten).
>
> Aber wenn ich das partiell integriere, bekomme ich:
>
> [mm]\integral{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm] =
> [mm]-e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}[/mm] + (n - 1) [mm]\integral{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
>
> Das ist doch offensichtlich nicht gleich; was soll ich denn
> gegen das [mm]-e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}[/mm] tun? Oder habe ich
> falsch integriert?
Du hast richtig unbestimmt integriert. Zum Ziel kommst Du so:
[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{z^{n - 1} z e^{-\bruch{z^2}{2}} dz} =
-e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}|_{- \infty}^{\infty} + (n - 1) \integral_{- \infty}^{\infty}{z^{n - 2} e^{-\bruch{z^2}{2}} dz}[/mm]
Es ist
[mm] $e^{-\bruch{z^2}{2}} z^{n - 1}|_{- \infty}^{\infty}=0$
[/mm]
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> Danke & Gruß,
>
> Martin
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