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Forum "Stochastic Theory" - Momente von X
Momente von X < Stochastic Theory < University < Maths <
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Momente von X: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 16:03 Fr 12/10/2018
Author: hase-hh

Aufgabe
Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}    

[fehlt hier vielleicht ein T???  also {0,1,2,... T} ]

habe [mm] G_X(T) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3)) [/mm]

als Erzeugendenfunktion.

a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.

b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X.

Moin Moin,

zu a) würde ich denken

[mm] G_X(T) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(T +T^3 +T^4) [/mm]

[mm] G_X [/mm] ' (T) = [mm] \bruch{1}{3}*(1 +3*T^2 +4*T^3) [/mm]

[mm] G_X [/mm] '' (T) =  [mm] \bruch{1}{3}*(6*T +12*T^2) [/mm]



E(X) = [mm] G_X [/mm] ' (0) = [mm] \bruch{1}{3}*(1 +3*0^2 +4*0^3) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

V(X) = [mm] G_X [/mm] '' (0) - [mm] (G_X [/mm] ' [mm] (0))^2 [/mm]  

V(X) = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9} [/mm]

richtig?

zu b) Gibt es einen Zusammenhang zwischen Erzeugendenfunktion und Verteilungsfunktion?

Hier fehlt mir ein Ansatz!  ???



Danke für eure Hilfe!





        
Bezug
Momente von X: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:25 Sa 13/10/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}    
>
> [fehlt hier vielleicht ein T???  also {0,1,2,... T} ]

Nein, dann würde es dastehen.
[mm] $\{0,1,2,...\}$ [/mm] ist einfach eine andere Notation für [mm] $\IN$, [/mm] wenn bei dir die 0 eine natürliche Zahl ist, oder [mm] $\IN_0 [/mm] = [mm] \IN \cup \{0\}$ [/mm] falls nicht.

Oder vereinfacht gesagt: X nimmt Werte in den natürlichen Zahlen an.  

> habe [mm]G_X(T)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3))[/mm]
> als Erzeugendenfunktion.

Um hier weiterzumachen: Was ist bei euch die Erzeugendenfunktion? Die []Momenterzeugende Funktion oder die []wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion.

Wenn [mm] G_X [/mm] die Momenterzeugende ist, ist dein Ansatz für a) korrekt und deine berechneten Werte stimmen soweit.

edit: Und [mm] G_X [/mm] ist gar keine Momenterzeugende… hast du die korrekt abgeschrieben?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Momente von X: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 15:56 Sa 13/10/2018
Author: hase-hh


> Hiho,
>  
> > Die Zufallsvariable X mit den Werten in {0,1,2,...}    
> >
> > [fehlt hier vielleicht ein T???  also {0,1,2,... T} ]
> Nein, dann würde es dastehen.
>  [mm]\{0,1,2,...\}[/mm] ist einfach eine andere Notation für [mm]\IN[/mm],
> wenn bei dir die 0 eine natürliche Zahl ist, oder [mm]\IN_0 = \IN \cup \{0\}[/mm]
> falls nicht.
>  
> Oder vereinfacht gesagt: X nimmt Werte in den natürlichen
> Zahlen an.  

Naja, es werden also die natürlichen Zahlen inklusive 0 betrachtet. Kein Problem.

Also könnte man auch schreiben: Die Zufallsvariable X nehme die Werte {0,1,2... n} an   (mit n [mm] \in \IN). [/mm]

> > habe [mm]G_X(T)[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(T*(1+T^2+T^3))[/mm]
>  > als Erzeugendenfunktion.

>
> Um hier weiterzumachen: Was ist bei euch die
> Erzeugendenfunktion? Die
> []Momenterzeugende Funktion
> oder die
> []wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion.
>  
> Wenn [mm]G_X[/mm] die Momenterzeugende ist, ist dein Ansatz für a)
> korrekt und deine berechneten Werte stimmen soweit.
>  
> edit: Und [mm]G_X[/mm] ist gar keine Momenterzeugende… hast du die
> korrekt abgeschrieben?
>  
> Gruß,
>  Gono

Ja, ich habe die Funktion richtig abgeschrieben; fand ich aber irgendwie merkwürdig.  

Im Moment gehe ich davon aus, es ist eine Momenterzeugende Funktion gemeint, oder nicht?!?


Wie sieht es denn mit der Verteilungsfunktion aus???


Danke & Gruß!

Bezug
                        
Bezug
Momente von X: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:21 Sa 13/10/2018
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Also könnte man auch schreiben: Die Zufallsvariable X
> nehme die Werte {0,1,2... n} an   (mit n [mm]\in \IN).[/mm]

nein!
Ein solches [mm] $n\in \IN$ [/mm] muss es nicht geben.
Nimm bspw. folgendes Spiel: Du wirfst so lange eine Münze, bis Kopf fällt.
X sei die Anzahl an Würfen, die man braucht.
Dann gibt es kein [mm] $n\in\IN$ [/mm] so dass $X [mm] \in \{0,1,2,\ldots,n\}$ [/mm] gilt, aber offensichtlich gilt $X [mm] \in \IN$ [/mm] oder anders geschrieben: $X [mm] \in \{0,1,2,\ldots\}$ [/mm]
  

> Ja, ich habe die Funktion richtig abgeschrieben; fand ich
> aber irgendwie merkwürdig.  
>
> Im Moment gehe ich davon aus, es ist eine Momenterzeugende
> Funktion gemeint, oder nicht?!?

G ist keine Momenterzeugende Funktion einer Verteilung…

> Wie sieht es denn mit der Verteilungsfunktion aus???

Daher ist die Frage hinfällig.

Gruß,
Gono

Bezug
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