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Hey, ich hab mal ne Verständnisfrage zu Momentenerzeugenden Funktionen, also wir haben die für eine diskrete Zufallsvariable X wie folgt definiert:
[mm] M_{X}(z)=E(z^{X})=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*P[X=k] [/mm] für ein z aus den komplexen Zahlen und [mm] |z|\le [/mm] 1
Wie ist das nun, wenn ich beispielsweise ne Poissonverteilung nehme, also z.B. [mm] P[X=k]=\frac{\rho^{k}}{k!}e^{-\rho}. [/mm] Dann kann ich doch für die Momentenerzeugende Funktion schreiben:
[mm] M_{X}(z)=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\frac{\rho^{k}}{k!}e^{-\rho}
[/mm]
Kann ich diese Ausdruck irgendwie vereinfachen, z.B. mit dem Reihenansatz für die Exponentialfunktion???
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo
> Hey, ich hab mal ne Verständnisfrage zu
> Momentenerzeugenden Funktionen, also wir haben die für
> eine diskrete Zufallsvariable X wie folgt definiert:
>
> [mm]M_{X}(z)=E(z^{X})=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*P[X=k][/mm] für
> ein z aus den komplexen Zahlen und [mm]|z|\le[/mm] 1
>
> Wie ist das nun, wenn ich beispielsweise ne
> Poissonverteilung nehme, also z.B.
> [mm]P[X=k]=\frac{\rho^{k}}{k!}e^{-\rho}.[/mm] Dann kann ich doch
> für die Momentenerzeugende Funktion schreiben:
>
> [mm]M_{X}(z)=\summe_{k=0}^{\infty}z^{k}*\frac{\rho^{k}}{k!}e^{-\rho}[/mm]
>
> Kann ich diese Ausdruck irgendwie vereinfachen, z.B. mit
> dem Reihenansatz für die Exponentialfunktion???
Klar: [mm] $\sum_{k=0}^\infty z^k \frac{\rho^k}{k!} e^{-\rho} [/mm] = [mm] e^{-\rho} \sum_{k=0}^\infty \frac{(z \rho)^k}{k!} [/mm] = [mm] e^{-\rho} e^{z \rho} [/mm] = [mm] e^{\rho (z - 1)}$.
[/mm]
LG Felix
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ok soweit so gut, was mach ich nun, wenn ich noch ne zweite Zufallsvariable Y nehme, für die dann gilt:
[mm] M_{Y}(z)=e^{\phi(z-1)} [/mm] und von vorher: [mm] M_{X}(z)=e^{\rho(z-1)}
[/mm]
Wie kann man dann die Verteilung von der Zufallsvariable (X+Y) bestimmen??
Also man kann dann ja wieder die Momentenerzeugende Funktion bilden:
[mm] M_{X+Y}(z)=M_{X}(z)*M_{Y}(z)=e^{\rho(z-1)}*e^{\phi(z-1)}=e^{(\rho +\phi)(z-1)}
[/mm]
ist dann die Verteilung nicht einfach die Poissonverteilung [mm] P(\rho+\phi) [/mm] also [mm] P[X+Y=k]=\frac{(\rho +\phi)^{k}}{k!}e^{-(\rho +\phi)}
[/mm]
Ist das so richtig???
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo!
> ok soweit so gut, was mach ich nun, wenn ich noch ne zweite
> Zufallsvariable Y nehme, für die dann gilt:
>
> [mm]M_{Y}(z)=e^{\phi(z-1)}[/mm] und von vorher:
> [mm]M_{X}(z)=e^{\rho(z-1)}[/mm]
>
> Wie kann man dann die Verteilung von der Zufallsvariable
> (X+Y) bestimmen??
Sind $X$ und $Y$ unabhaengig? Dann geht das via Faltung. Andernfalls haengt es davon ab, inwiefern sie abhaengig sind.
> Also man kann dann ja wieder die Momentenerzeugende
> Funktion bilden:
>
> [mm]M_{X+Y}(z)=M_{X}(z)*M_{Y}(z)=e^{\rho(z-1)}*e^{\phi(z-1)}=e^{(\rho +\phi)(z-1)}[/mm]
Das gilt nur dann, wenn sie unabhaengig sind.
> ist dann die Verteilung nicht einfach die Poissonverteilung
> [mm]P(\rho+\phi)[/mm] also [mm]P[X+Y=k]=\frac{(\rho +\phi)^{k}}{k!}e^{-(\rho +\phi)}[/mm]
Ja. Halt unter der Bedingung, dass sie unabhaengig sind.
Du kannst es auch direkt mittels Faltung zeigen: $P(X + Y = k) = [mm] \sum_{\ell=0}^k [/mm] P(X = [mm] \ell) [/mm] P(Y = k - [mm] \ell)$, [/mm] und dann einsetzen und zusammenfassen (Binomischen Lehrsatz verwenden).
LG Felix
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Jup, die beiden Zufallsvariablen sollen unabhängig sein, dann ist ja alles klar, danke.
mfg piccolo
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