Mono,Epi, Shift Funktion < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Di 23.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Es sei [mm] V=\IR^{\IN}:=\{(r_{1},r_{2},...,r_{j},...)| \forall j \in \IN:r_{j} \in \IR\} [/mm] der Raum aller unendlich langer Folgen [mm] (\infty-Tupel) [/mm] reller Zahlen.Außerdem sei f:V-->V, [mm] (r_{1},r_{2},...) \mapsto (0,r_{1},r_{2},...)
[/mm]
die sogenannte Shift-Funktion.
V ist mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation ein [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] und f ist eine [mm] \IR-lineare [/mm] Funktion V-->V, wie man leicht sieht.
(1) Zeigen Sie,dass V unendlich-dimensional ist, indem Sie zeigen,dass f ein Monomorphismus,aber kein Epimorphismus ist.
(2) Geben Sie ein Beispiel für eine [mm] \IR-lineare [/mm] Funktion g:V-->V mit dim Ker [mm] g=\infty [/mm] und dim Bild [mm] g=\infty [/mm] und beweisen Sie diese Eigenschaften. |
Hallo^^
ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe und möchte zuerst sicher gehen,ob ich alles richtig verstanden habe.
Ich habe einen Vektorraum [mm] V=\IR^{\IN}:=\{(r_{1},r_{2},...,r_{j},...)| \forall j \in \IN:r_{j} \in \IR\}.
[/mm]
Ist mir den [mm] \IR^{\IN} [/mm] der [mm] \IR^{0},\IR^{1},\IR^{2},\IR^{3}... [/mm] gmeint?
Nun ist V der Raum aller solcher Folgen,heißt das ich könnte sagen, [mm] V=\IR^{0}+\IR^{1}+\IR^{2}+\IR^{3}....
[/mm]
Dann,was genau sind diese [mm] r_{j} [/mm] ? Sind das alle Elemente des [mm] \IR^{0},\IR^{1},\IR^{2},\IR^{3}...also [/mm] zuerst alle Elemente von [mm] \IR^{0}, [/mm] dann alle von [mm] \IR^{1} [/mm] usw. einfach hintereinander als Tupel geschrieben?
Dann weiß ich,dass V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist und f ist eine [mm] \IR-lineare [/mm] Funktion,wie man angeblich leicht sieht.Also ich weiß,was eine [mm] \IR-lineare [/mm] Funktion ist,aber ich sehe das nicht so leicht.Wo genau seh ich das denn?
So,nun zu der (1).
Ich soll zeigen,dass f ein Monomorphismus,aber kein Epimorphismus ist,d.h. ich soll zeigen,dass f injektiv ist,aber nicht surjektiv.
f ist genau dann injektiv,wenn: [mm] f(v_{1})=f(v_{2}) [/mm] --> [mm] v_{1}=v_{2}
[/mm]
Ich habe überlegt das mit einem Widerspruchsbeweis zu zeigen und so zu beginnen:
Angenommen f ist nicht injektiv.Seien [mm] v_{1},v_{2} \in [/mm] V mit [mm] f(v_{1})=f(v_{2}), [/mm] dann folgt daraus nicht zwangsläufig,dass [mm] v_{1}=v_{2}, [/mm] es kann aber sein (so richtig,oder folgt daraus dass sie ungleich sind?).Es ist [mm] v_{1}=(r_{1},r_{2},...),v_{2}=(s_{1},s_{2},...) [/mm] und [mm] f(v_{1})=(0,r_{1},r_{2},...), f(v_{2})=(0,s_{1},s_{2},...).
[/mm]
Also [mm] (0,r_{1},r_{2}=(0,s_{1},s_{2},...), [/mm] das ist aber nur möglich,wenn [mm] r_{1}=s_{1}, [/mm] usw., also [mm] v_{1}=v_{2}. [/mm] Somit ist f injektiv.
Ist es damit schon bewiesen?
Und jetzt muss ich zeigen,dass f kein Epimorphismus ist,also dass f nicht surkektiv ist.
Wenn f surjektiv ist, so heißt das: [mm] \forall (0,r_{1},r_{2},...) \exists (r_{1},r_{2},...) [/mm] sodass f(v)=v.
Ich muss ein Element oder eher gesagt,ein Folge aus dem Bild finden,die kein Urbild hat,aber ich seh jetzt keine und weiß auch nicht wie ich eine finden soll ?
Stimmen meine Ansätze bis hier hin und wie kann ich weitermachen'?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mi 24.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]V=\IR^{\IN}:=\{(r_{1},r_{2},...,r_{j},...)| \forall j \in \IN:r_{j} \in \IR\}[/mm]
> der Raum aller unendlich langer Folgen [mm](\infty-Tupel)[/mm]
> reller Zahlen.Außerdem sei f:V-->V, [mm](r_{1},r_{2},...) \mapsto (0,r_{1},r_{2},...)[/mm]
>
> die sogenannte Shift-Funktion.
> V ist mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser
> Skalarmultiplikation ein [mm]\IR-Vektorraum,[/mm] und f ist eine
> [mm]\IR-lineare[/mm] Funktion V-->V, wie man leicht sieht.
>
> (1) Zeigen Sie,dass V unendlich-dimensional ist, indem Sie
> zeigen,dass f ein Monomorphismus,aber kein Epimorphismus
> ist.
>
> (2) Geben Sie ein Beispiel für eine [mm]\IR-lineare[/mm] Funktion
> g:V-->V mit dim Ker [mm]g=\infty[/mm] und dim Bild [mm]g=\infty[/mm] und
> beweisen Sie diese Eigenschaften.
> Hallo^^
>
> ich beschäftige mich mit dieser Aufgabe und möchte zuerst
> sicher gehen,ob ich alles richtig verstanden habe.
>
> Ich habe einen Vektorraum
> [mm]V=\IR^{\IN}:=\{(r_{1},r_{2},...,r_{j},...)| \forall j \in \IN:r_{j} \in \IR\}.[/mm]
>
> Ist mir den [mm]\IR^{\IN}[/mm] der
> [mm]\IR^{0},\IR^{1},\IR^{2},\IR^{3}...[/mm] gmeint?
Nein !
[mm]\IR^{\IN}[/mm] ist schlicht und einfach die Menge aller reellen Zahlenfolgen.
> Nun ist V der Raum aller solcher Folgen,heißt das ich
> könnte sagen, [mm]V=\IR^{0}+\IR^{1}+\IR^{2}+\IR^{3}....[/mm]
Unfug !!!!
> Dann,was genau sind diese [mm]r_{j}[/mm] ? Sind das alle Elemente
> des [mm]\IR^{0},\IR^{1},\IR^{2},\IR^{3}...also[/mm] zuerst alle
> Elemente von [mm]\IR^{0},[/mm] dann alle von [mm]\IR^{1}[/mm] usw. einfach
> hintereinander als Tupel geschrieben?
Quatsch ! Ein Element [mm] (r_n) [/mm] = [mm] (r_1,r_2, [/mm] ....) [mm] \in [/mm] V ist (nochmal) eine Folge in [mm] \IR [/mm] und [mm] r_j [/mm] ist ihr j-tes Folgenglied
>
> Dann weiß ich,dass V ein [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist und f ist eine
> [mm]\IR-lineare[/mm] Funktion,wie man angeblich leicht sieht.Also
> ich weiß,was eine [mm]\IR-lineare[/mm] Funktion ist,aber ich sehe
> das nicht so leicht.Wo genau seh ich das denn?
Rechne es doch nach:
Zeige: [mm] f((r_n)+(s_n)) [/mm] = [mm] f((r_n))+f((s_n)) [/mm] und [mm] f(t*(r_n)) [/mm] = [mm] t*f((r_n))
[/mm]
für [mm] (r_n), (s_n) \in [/mm] V und t [mm] \in \IR
[/mm]
>
> So,nun zu der (1).
> Ich soll zeigen,dass f ein Monomorphismus,aber kein
> Epimorphismus ist,d.h. ich soll zeigen,dass f injektiv
> ist,aber nicht surjektiv.
>
> f ist genau dann injektiv,wenn: [mm]f(v_{1})=f(v_{2})[/mm] -->
> [mm]v_{1}=v_{2}[/mm]
>
> Ich habe überlegt das mit einem Widerspruchsbeweis zu
> zeigen und so zu beginnen:
> Angenommen f ist nicht injektiv.Seien [mm]v_{1},v_{2} \in[/mm] V
> mit [mm]f(v_{1})=f(v_{2}),[/mm] dann folgt daraus nicht
> zwangsläufig,dass [mm]v_{1}=v_{2},[/mm] es kann aber sein (so
> richtig,oder folgt daraus dass sie ungleich sind?).Es ist
> [mm]v_{1}=(r_{1},r_{2},...),v_{2}=(s_{1},s_{2},...)[/mm] und
> [mm]f(v_{1})=(0,r_{1},r_{2},...), f(v_{2})=(0,s_{1},s_{2},...).[/mm]
>
> Also [mm](0,r_{1},r_{2}=(0,s_{1},s_{2},...),[/mm] das ist aber nur
> möglich,wenn [mm]r_{1}=s_{1},[/mm] usw., also [mm]v_{1}=v_{2}.[/mm] Somit
> ist f injektiv.
O.K.
>
> Ist es damit schon bewiesen?
>
> Und jetzt muss ich zeigen,dass f kein Epimorphismus
> ist,also dass f nicht surkektiv ist.
> Wenn f surjektiv ist, so heißt das: [mm]\forall (0,r_{1},r_{2},...) \exists (r_{1},r_{2},...)[/mm]
> sodass f(v)=v.
Das ist nicht Dein Ernst ? Lies mal was Du da geschrieben hast !
> Ich muss ein Element oder eher gesagt,ein Folge aus dem
> Bild finden,die kein Urbild hat,aber ich seh jetzt keine
> und weiß auch nicht wie ich eine finden soll ?
Mach doch die Augen auf !!!! In jeder Folge aus F(V) ist doch das erste Folgenglied =0
Liegt dann (1,0,0,0,...) in F(V) ?
FRED
>
> Stimmen meine Ansätze bis hier hin und wie kann ich
> weitermachen'?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Und jetzt muss ich zeigen,dass f kein Epimorphismus
> > ist,also dass f nicht surkektiv ist.
> > Wenn f surjektiv ist, so heißt das: [mm]\forall (0,r_{1},r_{2},...) \exists (r_{1},r_{2},...)[/mm]
> > sodass f(v)=v.
>
> Das ist nicht Dein Ernst ? Lies mal was Du da geschrieben
> hast !
Ok,das mit dem f(v)=v war etwas schludrig,ich wollte damit sagen,dass eine Folge aus V auf eine Folge von V abgebildet wird.Aber ich kann doch sagen, f ist surjektiv,wenn [mm] \forall [/mm] y [mm] \in (0,r_{1},r_{2},...) \exists [/mm] x [mm] \in (r_{1},r_{2},...): [/mm] f(x)=y. So stimmt es doch oder?
> > Ich muss ein Element oder eher gesagt,ein Folge aus dem
> > Bild finden,die kein Urbild hat,aber ich seh jetzt keine
> > und weiß auch nicht wie ich eine finden soll ?
>
> Mach doch die Augen auf !!!! In jeder Folge aus F(V) ist
> doch das erste Folgenglied =0
>
> Liegt dann (1,0,0,0,...) in F(V) ?
Nein.Ok,ich habs verstanden.
Ist damit jetzt gezeigt,dass V unendlich-dimensional ist?
Vielen Dank für deine Korrektur, ich weiß das war etwas anstrengend.Wir hatten noch nie Folgen gehabt,dewegen bin ich damit nicht so klar gekommen.
Ich versuche jetzt mal die (2).Ich muss ein Beispiel für eine [mm] \IR-lineare [/mm] Funktion g:V-->V mit dim ker [mm] g=\infty [/mm] und dim Bild [mm] g=\infty [/mm] finden.
Also die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren einer Basis von V.Jetzt geht es aber um die Dimension des Kerns und des Bildes von g.
Ich weiß schonmal,dass g eine Folge aus V auf eine Folge von V abbildet.Der Kern wären somit alle Folgen,die auf die Folge (0,0,0,0...) abgebildet werden, richtig?
Ist die Dimension des Kerns die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren einer Basis des Kerns und analog für das Bild?
Ich kann doch eigentlich schon mal schreiben g:V-->V, [mm] (r_{1},r_{2},...) \mapsto...
[/mm]
Bei dem Bild muss ich jetzt beachten,dass die Dimension des Bildes unendlich ist,aber ich weiß nicht,wie ich eine Bildmenge angebe dessen Dimension unendlich.
Wäre lieb,wenn mir hier jemand einen Tipp geben könnte.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Do 25.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal die folgende Abbildung an:
[mm] $g(r_1,r_2, r_3, [/mm] ...):= [mm] (0,r_2,0,r_4,0,r_6, [/mm] ...)$
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Do 25.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Schau Dir mal die folgende Abbildung an:
>
> [mm]g(r_1,r_2, r_3, ...):= (0,r_2,0,r_4,0,r_6, ...)[/mm]
>
Ok,ich hab mal versucht, für diese Funktion die Eigenschaften zu beweisen,also
1.g ist [mm] \IR-linear
[/mm]
2. dim ker [mm] g=\infty
[/mm]
3. fim Bild [mm] g=\infty
[/mm]
1. Dafür müssen zwei Sachen gelten:
1.1 [mm] g((r_n)+(s_n))=g((r_n))+g((s_n)) [/mm]
[mm] g((r_n))+g((s_n)) \overbrace{=}^{Def.von + Funktion} g(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}...)+g(s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}...) \overbrace{=}^{Def. g} (0,r_{2},0,r_{4})...+(0,s_{2},0,s_{4}) \overbrace{=}^{Def. g} (0,r_{2}+s_{2},0,r_{4}+s_{2})
[/mm]
bei den Begründungen bin ich mir unsicher,sind die so richtig?
[mm] g((r_n)+(s_n)) \overbrace{=}^{Def.?} g((r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},...)+(s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},...)) \overbrace{=}^{Def. der Summe eines Tupels} g(r_{1}+s_{1},r_{2}+s_{2},r_{3}+s_{3},r_{4}+s_{4}) \overbrace{=}^{Def.g} 0,r_{2}+s_{2},0,r_{4}+s_{4}=g((r_n))+g((s_n)) [/mm]
Auch hier bin ich mir bei den Begründungen nicht ganz sicher.
und
1.2 [mm] g(t*(r_n))=t*g(r_n)
[/mm]
[mm] g(t*(r_n))=g(t*(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},...) \overbrace{=}^{Def.Produkt ?} g(t*r_{1},t*r_{2},t*r_{3},t*r_{4},...) \overbrace{=}^{Def.Produktes} t*g(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},...)
[/mm]
Stimmt das so und sind vor allem meine Begründen richtig?
Jetzt zu 2.dim ker [mm] g=\infty.
[/mm]
Also für den Kern von g gilt doch [mm] r_{j}=0 [/mm] für gerade j, für ungerade j gibt es keine Einschränkung?
Somit ist doch der [mm] Kern=(r_{1},0,r_{3},0,...).Ich [/mm] muss jetzt zeigen,dass seine Dimension unendlich ist. Muss ich dafür zuerst eine Basis des Kerns bestimmen?
Oder kann ich das damit begründen,dass die Folge unendlich lang ist,daher müsste auch die Dimension unendlich sein?
Aber das ist ja kein Beweis,ich finds schwierig zu beweisen,dass etwas unendlich ist,ich weiß nicht wie ich hier anfangen soll???
Das Bild von g ist ja einfach [mm] (0,r_2,0,r_4,0,r_6, [/mm] ...), hier hab ich aber das gleiche Problem wie beim Kern.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Linearität hast Du richtig gezeigt.
Wir bezeichnen mit [mm] $e^{(n)}$ [/mm] diejenige Folge, die an der n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen
berechne mal [mm] g(e^{(2n)}) [/mm] und [mm] g(e^{(2n-1)})
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Die Linearität hast Du richtig gezeigt.
>
> Wir bezeichnen mit [mm]e^{(n)}[/mm] diejenige Folge, die an der
> n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen
>
> berechne mal [mm]g(e^{(2n)})[/mm] und [mm]g(e^{(2n-1)})[/mm]
Hab ich. [mm] g(e^{(2n)})=(0,0,0,...,1,0,0,...) [/mm] und [mm] g(e^{(2n-1)})=(0,0,..,1,0,0,...)
[/mm]
Beim ersten steht die 1 an der 2n-ten Stelle und beim 2. an der 2n-1-ten Stelle.
Ich versteh aber nicht,was mir das bringt,oder eher gesagt,was mir das über die Dimension des Bildes oder des Kernes sagt?
(Achso, und das e hat hier nix mit der e-Funktion zu tun oder?)
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Die Linearität hast Du richtig gezeigt.
> >
> > Wir bezeichnen mit [mm]e^{(n)}[/mm] diejenige Folge, die an der
> > n-ten Stelle eine 1 hat und sonst nur Nullen
> >
> > berechne mal [mm]g(e^{(2n)})[/mm] und [mm]g(e^{(2n-1)})[/mm]
>
> Hab ich. [mm]g(e^{(2n)})=(0,0,0,...,1,0,0,...)[/mm] und
> [mm]g(e^{(2n-1)})=(0,0,..,1,0,0,...)[/mm]
>
> Beim ersten steht die 1 an der 2n-ten Stelle und beim 2. an
> der 2n-1-ten Stelle.
> Ich versteh aber nicht,was mir das bringt,oder eher
> gesagt,was mir das über die Dimension des Bildes oder des
> Kernes sagt?
Das ist doch nicht Dein Ernst ?
Schau genau hin !!!
Es ist [mm]g(e^{(2n)})= e^{(2n)}[/mm] und [mm] $g(e^{(2n-1)})=0=(0,0,0,0,..)$
[/mm]
Damit liegen alle [mm] e^{(2n)} [/mm] im Bild von g und alle [mm] e^{(2n-1)} [/mm] im kern von g
Die Mengen [mm] $\{e^{(2n)}: n \in \IN \}$ [/mm] und [mm] $\{e^{(2n+1)}: n \in \IN \}$ [/mm] sind jeweils linear unabhängig !
>
> (Achso, und das e hat hier nix mit der e-Funktion zu tun
> oder?)
Natürlich nicht. Ich hatte mir überlegt , ob ich statt [mm] e^{(n)} [/mm] vielleicht
[mm] FREDDY^{(n)}
[/mm]
schreiben soll, bin dann davon allerdings abgekommen.
FREDDY
>
> lg
>
>
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> > Beim ersten steht die 1 an der 2n-ten Stelle und beim 2. an
> > der 2n-1-ten Stelle.
> > Ich versteh aber nicht,was mir das bringt,oder eher
> > gesagt,was mir das über die Dimension des Bildes oder des
> > Kernes sagt?
>
> Das ist doch nicht Dein Ernst ?
Ehm,doch war eigentlich schon mein Ernst.
> Schau genau hin !!!
Tu ich.
>
> Es ist [mm]g(e^{(2n)})= e^{(2n)}[/mm] und
> [mm]g(e^{(2n-1)})=0=(0,0,0,0,..)[/mm]
>
> Damit liegen alle [mm]e^{(2n)}[/mm] im Bild von g und alle
> [mm]e^{(2n-1)}[/mm] im kern von g
>
> Die Mengen [mm]\{e^{(2n)}: n \in \IN \}[/mm] und [mm]\{e^{(2n+1)}: n \in \IN \}[/mm]
> sind jeweils linear unabhängig !
Ist es nur ein Tippfehler oder wieso steht auf einmal 2n+1 im Exponenten und nicht 2n-1?
Ok,ich denke ich hab es verstanden.Also da alle [mm] e^{(2n)} [/mm] im Bild von g liegen,bilden sie ein Erzeugendensystemdes Bildes von g,und da sie linear unabhängig sind (wie du sagst),ist die Folge [mm] e^{(2n)} [/mm] eine Basis des Bildes von g und da alle [mm] e^{(2n-1)} [/mm] im Kern von g liegen und spmit ein Erzeugendensystem des Kerns von g bilden und linear unabhängig sind,ist die Folge [mm] e^{(2n-1)} [/mm] eine Basis des Kerns von g.
So, und kann ich jetzt folgendes sagen: Da die Folgen [mm] e^{(2n)} [/mm] und [mm] e^{(2n-1)} [/mm] unendlich lang sind,ist auch ihre Dimension unendlich?
Aber das mit dem Erzeugendensystem und der linearen Unabhängigkeit ist noch nicht bewiesen,es ist nur begründet.Ich will es jetzt beweisen.
Ich beginne mit der Folge [mm] e^{(2n)}.
[/mm]
[mm] e^{(2n)} [/mm] ist genau dann ein Erzeugendensystem des Bildes von g,wenn [mm] Lin_{k} e^{(2n)}=Bild [/mm] g. Die lineare Hülle von [mm] e^{(2n)} [/mm] ist [mm] \summe_{i=1}^{m}r_{i}*e^{(2n)}_{i}.
[/mm]
So,ich weiß jetzt aber nicht wie ich diese Summe konkret hinschreiben kann und zeigen kann,dass das das Bild von g ist.Wie fange ich denn an?
Und die lineare Unabhängigkeit muss auch bewiesen werden,also kann ich schreiben:
[mm] r*e^{(2*^1)}+s*e^{(2*2)}+...+z*e^{(2n)}=0,
[/mm]
r*(0,1,0,0,0,...)+s*(0,0,0,1...,0,0,...)+...+z*(0,0,0,...,0,0,...,1)=0.
Daraus folgt,dass r=s=...=z=0 sein müssen.
Ist die lineare Unabhängigkeit damit bewiesen?
lg
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Hallo,
kann mir bitte jemand sagen,ob meine Überlegungen richtig sind?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Di 30.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mo 29.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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